前回は群の作用の定義などをまとめました. mathgara.hatenablog.com 今回は 置換表現 といわれる群の作用の一種を扱います. 意外と院試などで使うテクニックでもあるのでぜひ目を通してみてください. を群, とする. が に左から作用するとき, に対して なの…

今回は かつ と の間に全単射が存在するなら か？ を考えます. 以下では, 集合 に対して で の濃度(元の個数)を表すとします. まず, 有限集合においては次が成り立ちます. 命題 1. を有限集合とし, とする. このとき, と の間に全単射が存在するならば であ…

ここでは, 群の作用を定義し, いくつか具体例を見ていきたいと思います. 定義 1.(群の作用) を群, を集合とする. このとき, 群 の集合 への左作用とは, 写像 で, 次の を満たすもののことである： 注意. 上の条件 は 「 を作用させたものにさらに を作用させ…

あけましておめでとうございます. 年になりました. ということで, ここでは位数 の群を決定しようと思います. 命題 1. 位数 の群はアーベル群であり, 次のいずれかと同型になる. 証明 を位数 の群とする. であるので, シロー 部分群 と シロー 部分群 が存在…

問題.(Selected Exercises in Algebra. 140) を群とし, を となる群準同型とする. このとき以下を示せ. 解答例. を任意にとる. なので また, より ある が存在して 仮定より なので よって となる. は明らかなので逆方向の包含を示す. を任意にとる. このと…

前回は第二同型定理, 第三同型定理についてまとめました. mathgara.hatenablog.com 今回は準同型の分解についてまとめます. 定理 1.(準同型の分解) を群とし, を準同型とする. さらに を正規部分群とし, を自然な全射準同型とする. このとき下図が可換図式と…

ここでは ベキ零群の極大部分群は正規である という命題を示していこうと思います. まずはベキ零群を定義しましょう. 定義 1. 群 の降中心列が有限の長さで自明群になるとき, を ベキ零群 という. すなわち, によって定まる正規部分群の列で とできる. ただ…

前回は準同型定理その１ということで, 準同型定理(第一同型定理)についてまとめました. mathgara.hatenablog.com 今回は続いて第二同型定理, 第三同型定理についてまとめたいと思います. 定義 1. 群 の部分群 に対して とおく. Remark. 上の は一般には部分…

前回は正規部分群と剰余群についてました. mathgara.hatenablog.com 今回はついに準同型定理についてまとめます. まずはその中でも基本的な「第一同型定理」についてです. 代数をする上で絶対に欠かすことができない重要な定理ですので, できればあいまいな…

今回は群の任意の元の位数が 以下ならアーベル群であることを示します. 命題 1. 群 について任意の に対して のとき, はアーベル群. 証明 を任意にとったとき であることをいいたい. より ここで より , についても同様なので よりOK. (終) 今回はこれで終わ…

今回は正規部分群とそこから得られる剰余群についてまとめてみます. まずは正規部分群のとき, 左剰余類と右剰余類が一致することをみてみましょう. 補題 1. が群 の正規部分群で なら, となる. 証明 を任意にとる. このとき が の正規部分群なので であるか…

前回はラグランジュの定理など有限群やその剰余類の位数についてまとめました. mathgara.hatenablog.com 今回は群論においてとても大事で基本的な正規部分群の定義と例についてまとめたいと思います. 以前まで、群 とその部分群 に対して という剰余類の集合…

ここでは群準同型 が 真部分群 に対して となるときについて考えます. 結論は次の通りです. 命題 1. 群準同型 が 真部分群 に対して となるとき, である. 証明 をひとつとる. 任意の に対して なので となる. よって任意の に対して である. (終) 今回はこん…

ここでは, 群 とその正規部分群 に対して, ならば が成り立つかを考えたいと思います. 逆に関しては当然成り立ちますよね. さてこの命題はどうなのでしょうか. 実はこれは一般には成り立ちません. 反例が次の通りです. 証明は省略します. 反例. 乗法群 とそ…

前回は商と剰余類の例についてまとめてみました. mathgara.hatenablog.com 今回はラグランジュの定理など, 位数についての話題をまとめてみたいと思います. とはいっても, 群の位数の話題はたくさんあって僕も知らないことがまだまだあると思いますが, ここ…

前回は同値関係と同値類についてまとめました. mathgara.hatenablog.com 今回は引き続き同値関係により定まる商や剰余類についてみていきたいと思います. 定義 1. を 上の同値関係とする. を の同値関係 による商という. 写像 を自然な写像という. に対して,…

今回は同値関係と剰余類についてまとめようと思います. 同値関係や剰余類の考え方は代数学だけでなくほかの分野でもよく出てくるので, はじめはなじめないかもしれないですが, しっかり腑に落ちるまで時間をかけて慣れていってください. 定義 1.(二項関係) …

ここでは, 数学においてしばしば気にする機会が多い "" という考え方についてまとめたいと思います. 僕も初めて学んだ時は腑に落ちるまで時間がかかったのですが, ここではなるべく具体例なども挙げながらまとめていきたいと思います. さっそく次の定義を見…

前回は準同型写像の定義と具体例をまとめました. mathgara.hatenablog.com 今回は準同型写像の性質についてまとめていきます. はじめにまず次の二つの重要な部分群を定義します. 定義 1.(核と像) を群, を準同型とする. このとき を の核という. (カーネルと…

明けましておめでとうございます. 2022年になりました. こういう年号が変わるときはその年の数のについてもしかしたら人生で一番考えるときになっているという人もいるかもしれません. 僕もその一人です. さて は素因数分解すると となり, つの素数の積にな…

今回は「指数 の部分群は正規部分群である」ことを示します. 群論の序盤のほうで演習などで出される印象が強いよくある問題です. 命題 1. を群, を指数 の部分加群とする. このとき は正規部分群である. 証明 が指数 なので と直和でかける. に対して, なら …

さて今回は「準同型写像の定義と具体例」についてまとめたいと思います.いよいよ本当に群論って感じの話になってきたかなと思います. ではさっそく定義を見てみましょう. 定義 1.(準同型写像など) を群, を写像とする. が準同型写像, もしくは準同型であると…

命題 1. 有限群 の真部分群 が の任意の真部分群を含むとき は巡回 群である. 証明 をとると仮定から となるので巡回群になるのは OK. を を割る素数とする. が 群でないなら を割る と異なる素数 が存在する. このとき はともに の真部分群なので に含まれ,…

ここでは「群の元の位数」についてまとめたいと思います. 一応前回の記事を載せておきます. mathgara.hatenablog.com 位数というと群に対してその元の個数も位数といっていました. 少しややこしいかもしれませんが混乱しないように気を付けてください. さっ…

ここでは巡回群についてまとめたいと思います. 前回 「部分集合が生成する部分群」 というものをまとめました. 今回する巡回群の定義に必要になるので載せておきます. mathgara.hatenablog.com では早速定義から入りましょう. 定義 1.(巡回群) 群 が 巡回群 …

前回は部分群についてまとめてみました. mathgara.hatenablog.com 今回は群の部分集合が生成する部分群について簡単にまとめたいと思います. 最初はややこしく感じるかもしれませんが "生成する" という概念数学ではよく出てくる操作ですので, そのイメージ…

ここでは部分群の定義, 判定法などをまとめていきたいと思います. 早速定義から見ていきましょう. 定義 1.(部分群) を群とする. が の演算によって群になるとき, を の部分群という. 例を見る前に, 群の部分集合が部分群になっているかを判定する方法を紹介…

前回の話 mathgara.hatenablog.com ここでは群の定義だけから示すことができる, 群に関しての一般的な性質をまとめてみたいと思います. 群の定義を思い出しておきましょう. 定義 1. (群) 集合 と 上の二項演算 の組 が 群である とは, 次の の条件を満たすこ…

ここでは群の定義と例をまとめたいと思います. 定義 1. (二項演算) を集合とする. このとき, 集合 上で定義される二項演算とは, 写像 のことである. この定義だけ見てもイメージがわかないかもしれないですが, 簡単に言うと, つの元を使って つの元を定める…

群論をこれから学んでいく, いきたいと思っている人の多少の助けになりそうなことをまとめていきたいと思います. 設定(想定対象者や到達目標など) 想定対象者は 数学科系の学生ではじめて群論を学ぶ, もしくは講義があったがよくわからなかった人 です. 僕自…