クラスナーの補題とその応用 - ガランガラのブログ

ここでは, 「クラスナーの補題」という定理とその応用を紹介します.

以下では次を仮定します.

$A$ は $\textrm{Dedekind}$ 整域
$K$ は $A$ の商体で標数 $0$
$x \in A \setminus \{ 0 \}$ に対して, $A/{(x)}$ は有限集合
$L/K$ は拡大次数 $n$ の有限次拡大
$B$ は $A$ の $L$ における整閉包

では早速定理を述べていきましょう.

定理 1.(Krasner's lemma) 上の仮定にさらに, $A, B$ を完備離散付値環, $L/K$ を $\textrm{Galois}$ 拡大とする. $B$ の素イデアルによる $L$ 上の付値を, $x \in L$ に対して $\vert x \vert$ とする. $\alpha, \beta \in L$ とし, $\sigma \in \textrm{Gal}(L/K)$ で $\sigma(\alpha) \not= \alpha$ ならば $\vert \beta - \alpha \vert \lt \vert \sigma(\alpha) - \alpha \vert$ とする. このとき, $\alpha \in K(\beta)$ である.

注 2. 証明に入る前にざっくり内容を言葉で書いておくと

$\beta$ が $\alpha$ の共役よりも $\alpha$ に近いなら $\alpha \in K(\beta)$

ということになります. では, 証明していきましょう.

証明 $\tau \in \textrm{Gal}(L/{K(\beta)})$ とする. $\tau(\alpha) = \alpha$ がいえれば, $\textrm{Galois}$ の基本定理より $\alpha \in K(\beta)$ が示せる. まず, $B$ は離散付値環で素イデアルは一つだけなので, $\tau$ は $B$ の素イデアルを不変にする. よって $x \in L$ に対して $\vert \tau(x) \vert = \vert x \vert$ である.

$\vert \tau(\alpha) - \beta \vert = \vert \tau(\beta - \alpha) \vert = \vert \beta - \alpha \vert \tag{1}$

なので, $\tau(\alpha) \not= \alpha$ なら

$\vert \tau(\alpha) - \alpha \vert = \vert \tau(\alpha) - \beta + \beta - \alpha \vert \leq \textrm{max} \{ \vert \tau(\alpha) - \beta \vert, \vert \beta - \alpha \vert \} \overset{(1)}{=} \vert \beta - \alpha \vert \lt \vert \tau(\alpha) - \alpha \vert$

となり矛盾. よって $\tau(\alpha) = \alpha$ となり, $\alpha \in K(\beta)$ となる. (終)

次の命題は

係数が近い多項式による拡大体は等しくなる

というものです.

命題 3. $K$ を局所体, $f(x) = x^{n} + a_{1}x^{n-1} + \cdots + a_{n} \in K \lbrack x \rbrack$ を $K$ 上既約な多項式, $L/K$ を $f(x)$ の最小分解体, $L$ の整数環 $\mathcal{O}_{L}$ の素イデアルによる $L$ 上の付値を, $x \in L$ に対して $\vert x \vert$ とし, $\alpha = \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n} \in L$ を $f(x)$ の根, $c = \textrm{min} \{ \vert \alpha_{i} - \alpha_{j} \vert : i \not= j \}$ とおく.

また, $g(x) = x^{n} + b_{1}x^{n-1} + \cdots + b_{n} \in K \lbrack x \rbrack$ で, 任意の $i = 1, \ldots, n$ に対して $\vert a_{i} - b_{i} \vert \cdot \vert \alpha \vert^{n-i} \lt c^{n}$ が成り立つとする. このとき次が成り立つ :

$(1)$ $g(x)$ は $K$ 上既約

$(2)$ $\vert \alpha - \beta \vert \lt c$ となる $g(x)$ の根があり, $K(\alpha) = K(\beta)$ .

証明 $g(x)$ の根を $\beta_{1}, \ldots, \beta_{n}$ とする. $L \subset F, \beta_{1}, \ldots, \beta_{n} \in F$ となるような $K$ の有限次拡大体 $F$ をとり, 付値を延長しておく. $f(\alpha) = 0$ なので

\begin{align} \prod_{r=1}^{n} \vert \alpha - \beta_{r} \vert &= \vert \prod_{r=1}^{n} (\alpha - \beta_{r}) \\ &= \vert g(\alpha) \vert \\ &= \vert g(\alpha) - f(\alpha) \vert \\ &= \textrm{max} \{ \vert a_{i} - b_{i} \vert \cdot \vert \alpha \vert^{n-i} : i = 1, \ldots, n \} \\ &\lt c^{n} \end{align}

なので, $\vert \alpha - \beta_{r} \vert \lt c$ となる $r$ が存在する. すると, クラスナーの補題より $\alpha \in K(\beta_{r})$ である.

同様にして, 各 $\alpha_{i}$ に対して $\vert \alpha_{i} - \beta_{r_{i}} \vert \lt c$ となる $r_{i}$ が存在する. よって, 写像 $i \mapsto r_{i}$ ができる. $i \not= j$ で $\vert \alpha_{i} - \beta_{s} \vert, \vert \alpha_{j} - \beta_{s} \vert \lt c$ なら $\vert \alpha_{i} - \alpha_{j} \vert \lt c$ となり, $c$ のとり方に矛盾する. よって $i \mapsto r_{i}$ は単射で, 定義域の集合は $n$ 元集合, 値域の集合の位数は $n$ 以下なので, 結局 $n$ 元集合から $n$ 元集合への単射となり, 全単射とわかる.

\begin{align} \vert \beta_{r_{i}} - \beta_{r_{j}} \vert &= \vert \beta_{r_{i}} - \alpha_{i} + \alpha_{i} - \alpha_{j} + \alpha_{j} - \beta_{r_{j}} \vert \\ &= \vert \alpha_{i} - \alpha_{j} \vert \end{align}

となるので

$\vert \alpha - \beta_{r} \vert \lt \textrm{min} \{ \vert \beta_{r_{i}} - \beta_{r_{j}} \vert : i \not= j \}$

ともなるので, 再びクラスナーの補題より $K(\beta_{r}) \subset K(\alpha)$ となる. よって $K(\alpha) = K(\beta_{r})$ で $\lbrack K(\alpha) : K \rbrack = n$ より $g(x)$ も $K$ 上既約である. (終)

これより, 次がわかります.

系 4. $L$ が局所体なら, 代数体 $K$ と $\mathcal{O}_{K}$ の素イデアル $\mathfrak{p}$ があり, $L$ は $K$ の $\mathfrak{p}$ 進完備化と同型である.

証明 $L = \mathbb{Q}_{p}(\alpha)$ で $f(x)$ を $\alpha$ の $\mathbb{Q}_{p}$ 上の最小多項式とする. 命題 $3$ より $\mathbb{Q}_{p}$ 上の多項式 $g(x)$ の係数が $f(x)$ の係数に十分近ければ, $g(x)$ の根 $\beta$ で $L = \mathbb{Q}_{p}(\beta)$ となるものがある. この $g(x)$ として $\mathbb{Q}$ の元をとれる. $K = \mathbb{Q}(\beta)$ とすると $K$ は代数体である.

$\mathfrak{P} \subset \mathcal{O}_{L}$ を素イデアルとすれば, $\mathfrak{p} := \mathfrak{P} \cap \mathcal{O}_{K}$ は素イデアルである. $\mathfrak{p} \cap \mathbb{Z} = p \mathbb{Z}$ であり, $\mathfrak{P}$ 進距離は $K$ 上では $\mathfrak{p}$ 進距離のベキである. $K$ の $L$ における閉包 $\hat{K}$ は $K$ の $\mathfrak{p}$ 進距離による完備化であり, $\mathbb{Q}_{p} \subset \hat{K}$ なので $\hat{K} = \mathbb{Q}_{p}(\beta) = \mathbb{Q}_{p}(\alpha) = L$ となる. (終)