ガランガラのブログ

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任意の真部分群を含む真部分群

群論 演習

命題 1. 有限群 G の真部分群 H が G の任意の真部分群を含むとき G は巡回 p 群である.

証明 x \in G \setminus H をとると仮定から \langle x \rangle =G となるので巡回群になるのは OK.

p を |G| を割る素数とする. G が p 群でないなら |G| を割る p と異なる素数 q が存在する. このとき \langle x^p \rangle, \langle x^q \rangle はともに G の真部分群なので H に含まれ, とくに x^p, x^q \in H である. ここで a, b \in \mathbb{Z} を ap+bq=1 となるようにとると x=x^{ap+bq}=(x^p)^a(x^q)^b \in H となり x の取り方に矛盾. よって G は p 群である. (終)

 

何か間違いなどあれば教えてください.

 

[参考文献]

 

代数学1　群論入門 (代数学シリーズ)

代数学1　群論入門 (代数学シリーズ)

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