ここでは、自身を除く全てのイデアルが素イデアルになる単位元をもつ可換環は体であることを示します. なお、これは多元数理の博士後期課程の2022年度の問題で見かけました. https://www.math.nagoya-u.ac.jp/ja/admission/gs/download/exam-dc-2022s.pdf 命…

ここでは, 開部分空間の開集合はもとの位相空間においても開集合であることを示します. まずは誘導位相と相対位相を定義します. 定義 1.(誘導位相) 集合 と位相空間 , および写像 が与えられたとき, 次の の部分集合系 は位相の公理をみたす : . この を, の…

ここでは, 局所同相写像は連続写像であり, かつ開写像であることを示します. それぞれの定義は次の通りです. 定義 1. を位相空間とする. 写像 について が連続写像であるとは, 任意の の開集合 の逆像 が の開集合となることをいう. また, が同相写像である…

今回は かつ と の間に全単射が存在するなら か？ を考えます. 以下では, 集合 に対して で の濃度(元の個数)を表すとします. まず, 有限集合においては次が成り立ちます. 命題 1. を有限集合とし, とする. このとき, と の間に全単射が存在するならば であ…

ここでは ベキ零群の極大部分群は正規である という命題を示していこうと思います. まずはベキ零群を定義しましょう. 定義 1. 群 の降中心列が有限の長さで自明群になるとき, を ベキ零群 という. すなわち, によって定まる正規部分群の列で とできる. ただ…

ここでは群準同型 が 真部分群 に対して となるときについて考えます. 結論は次の通りです. 命題 1. 群準同型 が 真部分群 に対して となるとき, である. 証明 をひとつとる. 任意の に対して なので となる. よって任意の に対して である. (終) 今回はこん…

ここでは, 可換環 とその積閉集合 に対して次の環準同型写像 が単射でない例を紹介したいと思います. 僕はこれをアティマクではじめて読んだときとても戸惑ったのを覚えています. なんで？ってなりますよね. ということで少しずつ考えていきます. まず, 環準…

ここでは, 群 とその正規部分群 に対して, ならば が成り立つかを考えたいと思います. 逆に関しては当然成り立ちますよね. さてこの命題はどうなのでしょうか. 実はこれは一般には成り立ちません. 反例が次の通りです. 証明は省略します. 反例. 乗法群 とそ…

ここでは二次体の整数環に関しての小ネタを紹介します. 早速本題に入りましょう. 命題 1. を自然数, を平方因子を持たない整数とし, を二次体とする. を割るすべての素数が で完全分解するとき, の整数環 のイデアル が存在して . 証明 と素因数分解し, を …

ここでは を整数, を奇素数として と の最大公約数を求めたいと思います. 少し具体例を見てみましょう. のとき： のとき のとき のとき のとき のとき のとき のとき のとき： のとき のとき のとき のとき のとき のとき のとき 少しだけですがなにやら 「 …

命題 1. を環の拡大とし, を の素イデアルとする. このとき, が素イデアルならば も素イデアルである. 証明 より素イデアルの逆像は素イデアルなのでOK. (終)