ガランガラのブログ

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A ⊂ B かつ A と B の間に全単射があるなら A=B か？

具体例 小ネタ 集合と位相 群論 環論 初学者向け

今回は

A \subset B かつ A と B の間に全単射が存在するなら A=B か？

を考えます. 

以下では, 集合 X に対して \vert X \vert で X の濃度(元の個数)を表すとします.

まず, 有限集合においては次が成り立ちます.

命題 1.  A, B を有限集合とし, A \subset B とする. このとき, A と B の間に全単射が存在するならば A=B である.

証明 まず A \subset B なので

\vert A \vert \leq \vert B \vert

が成り立つ. また, A と B の間に全単射, 特に全射が存在するので

\vert A \vert \geq \vert B \vert

となる. よって A=B となる. (終) 

 

よって有限集合の場合は今回のテーマの命題は成り立つのですが, 無限集合になると反例が出てきます.

反例 2.  \mathbb{Z} を整数全体の集合, 2\mathbb{Z} を偶数全体の集合とする. このとき, 2\mathbb{Z} \subset \mathbb{Z} かつ全単射

f : \mathbb{Z} \to 2\mathbb{Z}, \quad n \mapsto 2n

が存在するが, 2\mathbb{Z} \not= \mathbb{Z} である.

では, 考えている対象が群や環, 体などならどうなるでしょう. 

とはいっても上の反例はアーベル群 \mathbb{Z}, 2\mathbb{Z} とその間の群の同型 f : \mathbb{Z} \to 2\mathbb{Z} という見方もできるので反例になっています. 

環においては, 例えば次のような反例があります.

反例 3.  \mathbb{R} \lbrack x \rbrack を実数係数多項式環とする. このとき, \mathbb{R} \lbrack x^2 \rbrack は \mathbb{R} \lbrack x \rbrack の真の部分環であり, 同型

\phi : \mathbb{R} \lbrack x \rbrack \to \mathbb{R} \lbrack x^2 \rbrack, \quad f(x) \mapsto f(x^{2})

が存在するが, \mathbb{R} \lbrack x \rbrack \not= \mathbb{R} \lbrack x^2 \rbrack

体においても同じような反例が作れますが, 有限集合のときと同様に, 有限体のときはテーマの命題が成り立ちます.

 

また機会があれば, 他の対象についても同様のことを考えてみたいと思います.

 

今回はこれで終わります.

 

何か間違いなどがあれば教えてください.

 

【参考文献】

 

集合・位相入門 (松坂和夫 数学入門シリーズ 1)

集合・位相入門 (松坂和夫 数学入門シリーズ 1)

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代数学1　群論入門 (代数学シリーズ)

代数学1　群論入門 (代数学シリーズ)

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代数学2　環と体とガロア理論 (代数学シリーズ)

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