ガランガラのブログ

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f ∘ f = f となる群準同型 f : G → G について

初学者向け 演習 群論

問題.(Selected Exercises in Algebra. 140) G を群とし, f :  G \to G を f \circ f = f となる群準同型とする. このとき以下を示せ.

(1)\ \textrm{Ker}(f) \cap \textrm{Im}(f) = \{ e \}.

(2)\ G = \textrm{Ker}(f) \cdot \textrm{Im}(f).

 

解答例. 

(1) g \in \textrm{Ker}(f) \cap \textrm{Im}(f) を任意にとる. g \in \textrm{Ker}(f) なので

f(g) = e.

また, g \in \textrm{Im}(f) より ある x \in G が存在して

g = f(x).

仮定より f \circ f = f なので

g = f(x) = f \circ f(x) = f(g) = e.

よって \textrm{Ker}(f) \cap \textrm{Im}(f) = \{ e \} となる.

(2)  G \supseteq \textrm{Ker}(f) \cdot \textrm{Im}(f) は明らかなので逆方向の包含を示す.

g \in G を任意にとる. このとき, 明らかに f(g) \in \textrm{Im}(f) である. すると, f \circ f = f なので f(f(g)) = f(g) より

f(g \cdot f(g)^{-1}) = e.

よって

g \cdot f(g)^{-1} \in \textrm{Ker}(f).

したがって

g = (g \cdot f(g)^{-1}) \cdot f(g) \in \textrm{Ker}(f) \cdot \textrm{Im}(f)

となる. (終)

 

今回はこれで終わります.

 

何か間違いなどがあれば教えてください.

 

[参考文献]

 

Selected Exercises in Algebra: Volume 1 (UNITEXT Book 119) (English Edition)

Selected Exercises in Algebra: Volume 1 (UNITEXT Book 119) (English Edition)

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