今回は かつ と の間に全単射が存在するなら か？ を考えます. 以下では, 集合 に対して で の濃度(元の個数)を表すとします. まず, 有限集合においては次が成り立ちます. 命題 1. を有限集合とし, とする. このとき, と の間に全単射が存在するならば であ…

ここでは「すべての既約元が素元になるがUFDでない例」を紹介したいと思います. 代数学の教科書ではよく次の命題が載っています. 命題 1. 可換環 が ならば, のすべての既約元は素元になる. 今回はこの命題の逆の反例を考えるということです. 実は次のような…

ここでは, 可換環 とその積閉集合 に対して次の環準同型写像 が単射でない例を紹介したいと思います. 僕はこれをアティマクではじめて読んだときとても戸惑ったのを覚えています. なんで？ってなりますよね. ということで少しずつ考えていきます. まず, 環準…

ここでは, 群 とその正規部分群 に対して, ならば が成り立つかを考えたいと思います. 逆に関しては当然成り立ちますよね. さてこの命題はどうなのでしょうか. 実はこれは一般には成り立ちません. 反例が次の通りです. 証明は省略します. 反例. 乗法群 とそ…

正規拡大だが分離拡大でない体の拡大の例を紹介します. 命題 1. は非分離な正規拡大である. 証明 が の 上の最小多項式であり, なので正規拡大かつ非分離拡大であることがわかる. (終) 何か間違いなどあれば教えてください. [参考文献] 代数学2 環と体とガロ…

ここでは自由加群の自由加群でない部分加群の例を簡単に挙げます. ちなみに一般的に 上の自由加群の部分加群は自由加群である という事実があります. なので環としては でないものを用意して考えてみました. 命題 とすると, は の自由加群でない部分加群であ…

ここでは「 環でない 次元ネーター整域」の例を挙げたいと思います. 環の定義をまずは確認します. 定義 1. 次元ネーター整閉整域を 環 という. よって整閉性を外せばいいです. 代数体の整数環はかならず 環になることが知られていますが, 整数環の部分環でい…

ここでは「射影加群だが自由加群でない例」を挙げたいと思います. まずは, 自由加群はいいとして, 射影加群の定義を確認します. 定義 1. (射影加群) を環とする. このとき, 左 加群 が 射影加群 であるとは, 任意の左 加群の全射準同型 と任意の左 加群の準…