G/H と G が同型なら H は自明か？

ここでは, 群 とその正規部分群 に対して, 

ならば

が成り立つかを考えたいと思います.

逆に関しては当然成り立ちますよね. さてこの命題はどうなのでしょうか.

実はこれは一般には成り立ちません. 反例が次の通りです. 証明は省略します.

反例. 乗法群 とその正規部分群 は, 群準同型写像

によって となる.

こうやって反例考えるの面白いです.

実は有限生成アーベル群とかだと今回のものも成り立つので, 興味がある人は証明してみてください.

何か間違いなどあれば教えてください.