G/H と G が同型なら H は自明か？ - ガランガラのブログ

ここでは, 群 $G$ とその正規部分群 $H$ に対して,

$G/H \cong G$ ならば $H=\{e\}$

が成り立つかを考えたいと思います.

逆に関しては当然成り立ちますよね. さてこの命題はどうなのでしょうか.

実はこれは一般には成り立ちません. 反例が次の通りです. 証明は省略します.

反例. 乗法群 $G=S^{1} := \{ z \in \mathbb{C} \mid \vert z \vert =1 \}$ とその正規部分群 $H=\{1, -1\}$ は, 群準同型写像

$f : G \to G \ ;\ x \mapsto x^2$

によって $\textrm{Ker}(f)=H, G/H \cong G$ となる.

こうやって反例考えるの面白いです.

実は有限生成アーベル群とかだと今回のものも成り立つので, 興味がある人は証明してみてください.

何か間違いなどあれば教えてください.