ガランガラのブログ

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初学者向け群論解説 その２ ～群に関する基本的な性質～

初学者向け 群論

前回の話

mathgara.hatenablog.com

 

ここでは群の定義だけから示すことができる, 群に関しての一般的な性質をまとめてみたいと思います.

 

群の定義を思い出しておきましょう.

 

定義 1. (群)　集合 G と G 上の二項演算 \ast の組 (G, \ast) が 群である とは, 次の 1 \sim 3 の条件を満たすことをいう.

  1. (単位元の存在)　 \exists e \in G\ s.t. \forall g \in G, g \ast e=e \ast g=g　この e を G の単位元という.
  2. (逆元の存在)　 \forall a \in G, \exists b \in G,\ s.t. a \ast b=b\ast a=e　この b を a の逆元といい, a^{-1} とかく. (こうかくという慣習なだけで決して「マイナス１乗」の意味ではない)
  3. (結合律)　 \forall x, y, z \in G, (x \ast y) \ast z=x \ast (y \ast z)

では早速性質について色々見ていきましょう.

 

もし線形代数を学んだ人なら, 割と行列での式変形で似た操作をたくさん学んでいると思うので, そういったことを思い出しながら証明などを追うといいかもしれません.

 

命題 2.  (G, \ast) を群とする. このとき次が成立する.

  1. (単位元の一意性) 群の単位元はただ一つだけ存在する.
  2. (逆元の一意性) a \in G に対し, その逆元はただ一つ存在する.
  3. a, b \in G なら, (a \ast b)^{-1} = b^{-1} \ast a^{-1} である.
  4. a \in G なら, (a^{-1})^{-1}=a である.

ひとつひとつ, できるだけ丁寧に見ていきましょう.

証明

[1. について]  e, e' \in G がともに単位元の性質を満たすとする. このとき, e が単位元の性質を満たすので, とくに

e \ast e'=e'

が成り立つ. e' も同様に単位元の性質を満たすので, とくに

e \ast e'=e

よって e=e' がわかる.

[2. について] b, b' \in G がともに a \in G の逆元の性質を持つとする. すなわち

a \ast b = b \ast a = e, a \ast b'= b' \ast a = e

とする. このとき途中結合律を用いながら

b= e \ast b = (b' \ast a) \ast b = b' \ast (a \ast b) = b' \ast e = b'

よりOK .

～～3. の証明に入る前に～～

証明に入る前に何を言えばこの命題が示せることになるかを考えてみましょう.

まず (a \ast b)^{-1} とは a \ast b \in G の逆元です. b^{-1} \ast a^{-1} \in G がこれと等しいことを言うには, 2 の逆元の一意性より, b^{-1} \ast a^{-1} \in G もまた a \ast b の逆元である性質を満たすことをいえれば証明できます.

～～～～～～～～～～～～～

[3. について]

(b^{-1} \ast a^{-1}) \ast a \ast b = b^{-1} \ast (a^{-1} \ast a) \ast b = b^{-1} \ast e \ast b = b^{-1} \ast b =e

同様に, a \ast b \ast (b^{-1} \ast a^{-1}) =e もわかるので, b^{-1} \ast a^{-1} は a \ast b の逆元 (a \ast b)^{-1} に等しい.

 

[4. について]

こちらも a が a^{-1} の逆元である性質を満たすことをいえばいいですがこれは明らか. (終)

 

このような抽象的な議論は慣れが必要だと思います. 最初はあまりなじめなくても勉強を進めていきその都度出てくる命題や定理の証明をしっかり理解しようとすれば慣れていくと思います.

 

つぎは部分群などについてまとめたいと思います.

 

何か間違いなどあれば教えてください.

 

[参考文献]

 

代数学1　群論入門 (代数学シリーズ)

代数学1　群論入門 (代数学シリーズ)

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