ガランガラのブログ

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位数2023の群

群論 演習 あけおめ

あけましておめでとうございます. 2023 年になりました.

2023 ということで, ここでは位数 2023 の群を決定しようと思います.

命題 1. 位数 2023 の群はアーベル群であり, 次のいずれかと同型になる.

  • \mathbb{Z}/{7 \mathbb{Z}} \times \mathbb{Z}/{289 \mathbb{Z}}
  • \mathbb{Z}/{7 \mathbb{Z}} \times \mathbb{Z}/{17 \mathbb{Z}} \times \mathbb{Z}/{17 \mathbb{Z}} 

証明 G を位数 2023 の群とする. 

2023 = 7 \times 17^{2}

であるので, シロー 7 部分群 H と シロー 17 部分群 K が存在する. このとき, H の位数は 7 で素数なので H \cong \mathbb{Z}/{7 \mathbb{Z}} となり, K の位数は 17^{2} で, 素数の 2 乗なのでアーベル群となり, K \cong \mathbb{Z}/{289 \mathbb{Z}} もしくは K \cong \mathbb{Z}/{17 \mathbb{Z}} \times \mathbb{Z}/{17 \mathbb{Z}} となる. それぞれの共役の個数を s,\ t とすると, s,\ t は 2023 の約数であり,

s \equiv 1 \mod 17,

t \equiv 1 \mod 7

が成り立つが, 

17 \equiv 3 \mod 7,

7 \equiv 7 \mod 17

より, s = t = 1 しかありえない. よってそれぞれの共役は 1 個ずつ存在するので, H,\ K はともに G の正規部分群であり, G \cong H \times K となる. よって命題の主張が成り立つ. (終)

 

今回はこれで終わります.

 

何か間違いなどがあれば教えてください.

 

【参考文献】

 

代数学1　群論入門 (代数学シリーズ)

代数学1　群論入門 (代数学シリーズ)

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