2021-09-08

(固定)初学者向け群論解説その０～群論を始める準備～

初学者向け群論

群論をこれから学んでいく, いきたいと思っている人の多少の助けになりそうなことをまとめていきたいと思います.

設定(想定対象者や到達目標など)

想定対象者は

数学科系の学生ではじめて群論を学ぶ, もしくは講義があったがよくわからなかった人

です.

僕自身が雪江明彦さんの「群論入門」を読んで学んだので基本的にこの本の流れなどに沿ってまとめていく予定です.

なので到達目標は

少なくとも準同型定理まで
願わくばシローの定理まで

です. また定義や定理の理解だけでなく, 演習によってそれらにちゃんと慣れることができるようにしたいと思います.

群論を始める前に

本題に入りますが, おそらく群論を始める前に, 大学の講義などで解析・線形代数・集合と位相などを学んだ方も多いと思います. ここではその中で群論を学ぶ前に身に着けておいたほうが学びがスムーズになると考えられる事柄をまとめていきたいと思います. 数学は学んでから慣れてちゃんと身につくまでに時間がかかることもあるのでじっくり丁寧に, 自分が身についているか確認してみてください.

$\exists$ や $\forall$ などの記号を使った文章を正確に読み書きできる.
写像や集合に関する言葉の定義を正確に読み書きできる.
置換の計算がわかる.

基本的にはこれくらいができれば(多少できてなくても続けていけば慣れてできていくと思いますが)大丈夫だと思います. 少し確認問題をまとめてみます.

確認問題

$(1)$ 　命題「 $\forall n \in \mathbb{N}, \exists m \in \mathbb{N}, n$ < $m$ 」の真偽を理由とともに答えよ.

$(2)$ 　命題「 $\exists n \in \mathbb{N}, \forall m \in \mathbb{N}, n$ < $m$ 」の真偽を理由とともに答えよ.

$(3)$ 　写像 $f : X \to Y$ が全射であることの定義を述べよ.

$(4)$ 　写像 $f : X \to Y$ が単射であることの定義を述べよ.

$(5)$ 　写像 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x^2$ に関して, 逆像 $f^{-1}(\{1\})$ を定義に基づいて求めよ.

$(6)$ 　写像 $f : X \to Y$ , 部分集合 $A, B \subset X$ に関して, $f(A \cup B)=f(A) \cup f(B)$ を示せ.

$(7)$ 　写像 $f : X \to Y$ , 部分集合 $A, B \subset X$ に関して, $f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)$ を示せ.

$(8)$ 　写像 $f : X \to Y$ , 部分集合 $C, D \subset Y$ に関して, $f^{-1}(C \cup D)=f^{-1}(C) \cup f^{-1}(D)$ を示せ.

$(8)$ 　写像 $f : X \to Y$ , 部分集合 $C, D \subset Y$ に関して, $f^{-1}(C \cap D)=f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)$ を示せ.

$(9)$ 　 $(1\ 2\ 3)(2\ 3)$ を計算せよ.

これらの問題がわりとスムーズに解ければ大丈夫だと思います.

何か間違いなどあれば教えてください.

[参考文献]

代数学1　群論入門 (代数学シリーズ)

作者:雪江明彦
日本評論社

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集合・位相入門

作者:松坂和夫
岩波書店

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2024-09-05

被覆写像は局所同相写像

被覆空間のGalois理論集合と位相

ここでは, 被覆写像は局所同相写像であることを示します.

定義 1. $X$ を位相空間とする. 位相空間 $Y$ が $X$ 上の被覆空間であるとは, 次の条件をみたす全射連続写像 $h : Y \to X$ が存在することである :

任意の点 $x \in X$ に対し, ある $x$ の開近傍 $U \subset X$ と集合 $I$ が存在して, $h^{-1}(U) = \amalg_{i \in I} V_{i}$ かつ各 $V_{i}$ は $Y$ の開集合であり, $h$ の $V_{i}$ への制限 $h |_{V_{i}} : V_{i} \to U$ が同相写像である.

このとき, $h$ を被覆写像とよぶ.

では早速示していきましょう.

命題 2. 被覆写像は局所同相写像である.

証明 $y \in Y$ を任意にとる. $x = h(y)$ とすると, $h$ は被覆写像なので, ある $x$ の開近傍 $U$ が存在し, $h^{-1}(U) = \amalg_{i \in I} V_{i}$ かつ各 $V_{i}$ は $Y$ の開集合であり, $h$ の $V_{i}$ への制限 $h |_{V_{i}} : V_{i} \to U$ が同相写像である. $y \in h^{-1}(U) = \amalg_{i \in I} V_{i}$ なので, ある $i_{0} \in I$ が存在し, $V_{i_0}$ は $y$ の開近傍であり, $U = h(V_{i_0})$ は $X$ の開集合かつ $h |_{V_{i_{0}}} : V_{i_{0}} \to U$ は同相写像である. よって $h$ は局所同相写像である.

今回はこれで終わります.

何か間違いなどがあれば教えてください.

【参考文献】

ガロア圏と基本群

作者:森下昌紀
森北出版

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2024-09-04

自身を除く全てのイデアルが素イデアルになる単位元をもつ可換環は体

環論演習小ネタ院試

ここでは、自身を除く全てのイデアルが素イデアルになる単位元をもつ可換環は体であることを示します.

なお、これは多元数理の博士後期課程の2022年度の問題で見かけました.

https://www.math.nagoya-u.ac.jp/ja/admission/gs/download/exam-dc-2022s.pdf

命題 1. 自身を除く全てのイデアルが素イデアルになる単位元をもつ可換環は体である.

証明 $A$ を自身を除く全てのイデアルが素イデアルになる単位元をもつ可換環とする. まず, $(0) \not= A$ なので, 仮定より $(0)$ は素イデアル. よって $A$ は整域である. 任意の $0$ でない元 $x \in A \setminus \{ 0 \}$ が可逆元であることを示す. $I = (x)$ とする. 仮定より $I^2 = (x^2)$ は素イデアルである. $x^{2} = x \cdot x \in I^2$ なので, 素イデアルの定義から $x \in I^2$ となる. よってある $A$ の元 $a$ を用いて, $x = ax^2$ とかける. $x(ax - 1) = 0$ であり, $A$ は整域と分かっておりかつ $x \not= 0$ としているので, $ax = 1$ となる. よって $x$ は可逆元である. (終)

多元数理の博士後期課程の院試は代数の問題が小問で出されていてほどよい演習になりそうだと思いました.

今回はこれで終わります.

何か間違いなどがあれば教えてください.

【参考文献】

Atiyah-MacDonald 可換代数入門

作者:M.F. Atiyah,I.G. MacDonald
共立出版

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代数学2　環と体とガロア理論 (代数学シリーズ)

作者:雪江明彦
日本評論社

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2024-09-03

トロトロ親子丼とサクラチェッカー

日記

今日も元気でした。

結局台風の影響はほとんど受けず天気はとてもよかったです。

お昼ご飯に同期と焼き鳥屋さんに行ったのですが

そこの親子丼がトロトロしていて味も濃くとても美味しかったです。

サッカーだとレアルマドリードのエムバぺがリーグ戦初ゴールを決めてましたね。

ハーランドは2試合連続ハットトリックみたいですが、

今シーズンはどちらが活躍するのかな。

Amazonでいろいろ見ていると

「サクラチェッカー」というサイトを見つけました。

sakura-checker.jp

仕組みをみていると、

「口コミの投稿日時のばらつき」や「公式サイトの有無」など

6項目の指標で評価しているみたいで、なるほどなあと思いました。

こういう何かを評価する指標を考えるのは面白いです。

では。

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2024-09-02

開部分空間の開集合はもとの位相空間においても開集合である

集合と位相小ネタ

ここでは, 開部分空間の開集合はもとの位相空間においても開集合であることを示します.

まずは誘導位相と相対位相を定義します.

定義 1.(誘導位相)　

集合 $S$ と位相空間 $(S', \mathfrak{O}_{S'})$ , および写像 $f : S \to S'$ が与えられたとき, 次の $S$ の部分集合系 $\mathfrak{O}_{S}$ は位相の公理をみたす :

$\mathfrak{O}_{S} = \{ f^{-1}(O) \mid O \in \mathfrak{O}_{S'} \}$ .

この $\mathfrak{O}_{S}$ を, $S'$ の位相 $\mathfrak{O}_{S'}$ から誘導される位相という.

定義 2.(相対位相)

位相空間 $(X, \mathfrak{O})$ とその部分集合 $A \subset X$ が与えられたとき, 包含写像 $i : A \to X$ により $X$ の位相 $\mathfrak{O}$ から誘導される $A$ の位相 $\mathfrak{O}_{A}$ を, $A$ における $\mathfrak{O}$ の相対位相といい, こうしてできた位相空間 $(A, \mathfrak{O}_{A})$ を $(X, \mathfrak{O})$ の部分空間という.

$X$ の任意の開集合 $O \in \mathfrak{O}$ に対して, $i^{-1}(O) = A \cap O$ なので, 相対位相 $\mathfrak{O}_{A}$ は

$\mathfrak{O}_{A} = \{ i^{-1}(O) \mid O \in \mathfrak{O} \} = \{ A \cap O \mid O \in \mathfrak{O} \}$

と書けます.

例. 1次元 $\textrm{Euclid}$ 空間 $\mathbb{R}$ の部分集合 $I = [ 0, 1 ]$ をとる. このとき, $I$ に相対位相をいれ部分空間を作ると, $(0, 1 ]$ は $I$ において開集合である. なぜなら, 例えば $\mathbb{R}$ の開集合 $(0, 2)$ をとると

$(0, 1 ]$ $= I \cap (0, 2) = i^{-1}( (0, 2) )$

とかけるからである.

上の例から, 部分空間において開集合であったとしても, もとの位相空間においては開集合とならないことがあるということがわかります.

この事実に対して, 今回のテーマは, 考えている部分空間がもとの位相空間において開集合であるならば, 開部分空間の開集合はもとの位相空間においても開集合であるということが成り立つということを示すことです.

命題 3. 位相空間 $(X, \mathfrak{O}_{X})$ とその部分集合 $A$ をとり相対位相 $\mathfrak{O}_{A}$ をいれる. このとき次は同値である :

$(1)$ $A$ が $X$ の開集合である.

$(2)$ 部分空間 $(A, \mathfrak{O}_{A})$ の任意の開集合 $U \in \mathfrak{O}_{A}$ は $X$ の開集合である.

証明 $(1)$ を仮定する. 部分空間 $(A, \mathfrak{O}_{A})$ の任意の開集合 $U \in \mathfrak{O}_{A}$ をとる. 相対位相の定義から, ある $X$ の開集合 $O$ が存在して $U = A \cap O$ とかける. $A, O$ はともに $X$ の開集合なので, 位相の公理からその共通部分である $U$ も $X$ の開集合である. よって $(2)$ が成り立つ.

逆に $(2)$ を仮定すると, $A$ 自身は $A$ の開集合なので, $(2)$ より $A$ は $X$ の開集合である. よって $(1)$ が成り立つ. (終)

ちなみに, 命題 3 の $(2)$ は

包含写像 $i : A \to X$ は開写像である

と言い換えられます. 開写像は, 任意の開集合の像が開集合になる位相空間の間の写像です.

今回はこれで終わります.

何か間違いなどがあれば教えてください.

【参考文献】

集合・位相入門

作者:松坂和夫
岩波書店

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2024-09-01

台風とTCP/IP

日記

今日も元気です。

朝バルセロナが 7-0 で勝ったというのを X で見たのでハイライトを見ました。

ヤマルのスルーパスがうますぎでした。

ダニオルモはポスト直撃が多かったけど最終的にはゴールしてました。

そのあとは YouTube でアオイゲームのドラクエ7の実況見て、

13時ごろまで勉強会の予習をしました。

勉強会は16時からだったので買い物に出かけようと外へ出ると雨が降り出しました。

なので近くのコンビニで買い物してすぐに家へ帰りました。

予定通り16時から彼女と勉強会をしました。

TCP/IPについて勉強したことを教えました。

ゆっくり近づいているみたいですが

明日は台風来るのでしょうか。

暗闇坂むささび変化

はっぴいえんど
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2024-09-01

局所同相写像は連続かつ開

被覆空間のGalois理論集合と位相小ネタ演習

ここでは, 局所同相写像は連続写像であり, かつ開写像であることを示します.

それぞれの定義は次の通りです.

定義 1. $X, Y$ を位相空間とする. 写像 $f : X \to Y$ について

$(1)$ $f$ が連続写像であるとは, 任意の $Y$ の開集合 $V$ の逆像 $f^{-1}(V)$ が $X$ の開集合となることをいう. また, $f$ が同相写像であるとは, $f$ が連続な全単射写像であり, 逆写像 $f^{-1}$ も連続写像となることをいう.

$(2)$ $f$ が開写像であるとは, 任意の $X$ の開集合 $U$ の像 $f(U)$ が $Y$ の開集合となることをいう.

$(3)$ $f$ が局所同相写像であるとは, 任意の $X$ の点 $x$ に対して, $x$ を含む開集合 $U$ が存在して, $f(U)$ が $Y$ の開集合でありかつ $f$ の $U$ への制限 $f |_{U} : U \to f(U)$ が同相写像となることをいう.

定義ができたので早速局所同相写像が連続写像であり, かつ開写像であることを示していきましょう.

命題 2. $f : X \to Y$ を局所同相写像とする. このとき, $f$ は連続写像であり, かつ開写像である.

証明　まず連続性を示す. 任意の $Y$ の開集合 $V$ をとる. このとき, $f^{-1}(V)$ が $X$ の開集合であることを示したい. $f$ は局所同相写像なので, 任意の元 $x \in f^{-1}(V)$ に対して, ある $X$ の開集合 $U_{x}$ が存在して, $f(U_{x})$ が $Y$ の開集合でありかつ $f$ の $U_{x}$ への制限 $f |_{U_{x}} : U_{x} \to f(U_{x})$ が同相写像となる. ここで

$f^{-1}(V) = \bigcup_{x \in f^{-1}(V)} (f^{-1}(V) \cap U_{x})$

であるから, 各 $x \in f^{-1}(V)$ が $X$ の開集合であることを示せばよい. $V \cap f(U_{x}) \subset f(U_{x})$ であり, $V, f(U_{x})$ はどちらも $Y$ の開集合であるので, $V \cap f(U_{x})$ は $Y$ の開集合であり, 部分空間 $f(U_{x})$ の開集合である. $f |_{U_{x}} : U_{x} \to f(U_{x})$ は同相写像で特に連続写像であるので

$f^{-1}(V) \cap U_{x} = (f |_{U_{x}})^{-1}(V \cap f(U_{x}))$

は部分空間 $U_{x}$ の開集合である. 相対位相の定義から, ある $X$ の開集合 $W_{x}$ が存在し, $(f^{-1}(V) \cap U_{x}) = W_{x} \cap U_{x}$ となる. $U_{x}, W_{x}$ はともに $X$ の開集合なので, $(f^{-1}(V) \cap U_{x}) = W_{x} \cap U_{x}$ は $X$ の開集合であることがわかるので, $f$ は連続写像である.

次に開写像であることを示す. 任意の $X$ の開集合 $U$ をとる. $f$ は局所同相写像なので, 任意の $U$ の元 $x$ に対し, $x$ を含む $X$ の開集合 $U_{x}$ が存在し, $f(U_{x})$ は $Y$ の開集合でありかつ $f$ の $U_{x}$ への制限 $f |_{U_{x}} : U_{x} \to f(U_{x})$ が同相写像となる. ここで

$f(U) = f(\bigcup_{x \in U} (U \cap U_{x})) = \bigcup_{x \in U} f(U \cap U_{x})$

であるから, 各 $f(U \cap U_{x})$ が $Y$ の開集合であることを示せばよい. $f(U \cap U_{x}) \subset f(U_{x})$ であり, $U \cap U_{x}$ は $U_{x}$ の開集合であるから各 $f(U \cap U_{x})$ は $f |_{U_{x}}$ が同相写像なので, 部分空間 $f(U_{x})$ の開集合である. 相対位相の定義から $Y$ の開集合 $Z_{x}$ が存在して $f(U \cap U_{x}) = f(U_{x}) \cap W_{x}$ となる. $f(U_{x}), W_{x}$ はともに $Y$ の開集合なので, $f(U \cap U_{x})$ は $Y$ の開集合である. よって $f$ は開写像である. (終)

「開集合」といってもどの空間での開集合であるかを気にしないといけないので, いざ証明してみると記述が面倒になりました. 相対位相のあたりで工夫すればもっときれいになるかもしれません.

今回はこれで終わります.

何か間違いなどがあれば教えてください.

【参考文献】

ガロア圏と基本群

作者:森下昌紀
森北出版

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集合・位相入門

作者:松坂和夫
岩波書店

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2023-02-18

クラスナーの補題とその応用

整数論

ここでは, 「クラスナーの補題」という定理とその応用を紹介します.

以下では次を仮定します.

$A$ は $\textrm{Dedekind}$ 整域
$K$ は $A$ の商体で標数 $0$
$x \in A \setminus \{ 0 \}$ に対して, $A/{(x)}$ は有限集合
$L/K$ は拡大次数 $n$ の有限次拡大
$B$ は $A$ の $L$ における整閉包

では早速定理を述べていきましょう.

定理 1.(Krasner's lemma) 上の仮定にさらに, $A, B$ を完備離散付値環, $L/K$ を $\textrm{Galois}$ 拡大とする. $B$ の素イデアルによる $L$ 上の付値を, $x \in L$ に対して $\vert x \vert$ とする. $\alpha, \beta \in L$ とし, $\sigma \in \textrm{Gal}(L/K)$ で $\sigma(\alpha) \not= \alpha$ ならば $\vert \beta - \alpha \vert \lt \vert \sigma(\alpha) - \alpha \vert$ とする. このとき, $\alpha \in K(\beta)$ である.

注 2. 証明に入る前にざっくり内容を言葉で書いておくと

$\beta$ が $\alpha$ の共役よりも $\alpha$ に近いなら $\alpha \in K(\beta)$

ということになります. では, 証明していきましょう.

証明 $\tau \in \textrm{Gal}(L/{K(\beta)})$ とする. $\tau(\alpha) = \alpha$ がいえれば, $\textrm{Galois}$ の基本定理より $\alpha \in K(\beta)$ が示せる. まず, $B$ は離散付値環で素イデアルは一つだけなので, $\tau$ は $B$ の素イデアルを不変にする. よって $x \in L$ に対して $\vert \tau(x) \vert = \vert x \vert$ である.

$\vert \tau(\alpha) - \beta \vert = \vert \tau(\beta - \alpha) \vert = \vert \beta - \alpha \vert \tag{1}$

なので, $\tau(\alpha) \not= \alpha$ なら

$\vert \tau(\alpha) - \alpha \vert = \vert \tau(\alpha) - \beta + \beta - \alpha \vert \leq \textrm{max} \{ \vert \tau(\alpha) - \beta \vert, \vert \beta - \alpha \vert \} \overset{(1)}{=} \vert \beta - \alpha \vert \lt \vert \tau(\alpha) - \alpha \vert$

となり矛盾. よって $\tau(\alpha) = \alpha$ となり, $\alpha \in K(\beta)$ となる. (終)

次の命題は

係数が近い多項式による拡大体は等しくなる

というものです.

命題 3. $K$ を局所体, $f(x) = x^{n} + a_{1}x^{n-1} + \cdots + a_{n} \in K \lbrack x \rbrack$ を $K$ 上既約な多項式, $L/K$ を $f(x)$ の最小分解体, $L$ の整数環 $\mathcal{O}_{L}$ の素イデアルによる $L$ 上の付値を, $x \in L$ に対して $\vert x \vert$ とし, $\alpha = \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n} \in L$ を $f(x)$ の根, $c = \textrm{min} \{ \vert \alpha_{i} - \alpha_{j} \vert : i \not= j \}$ とおく.

また, $g(x) = x^{n} + b_{1}x^{n-1} + \cdots + b_{n} \in K \lbrack x \rbrack$ で, 任意の $i = 1, \ldots, n$ に対して $\vert a_{i} - b_{i} \vert \cdot \vert \alpha \vert^{n-i} \lt c^{n}$ が成り立つとする. このとき次が成り立つ :

$(1)$ $g(x)$ は $K$ 上既約

$(2)$ $\vert \alpha - \beta \vert \lt c$ となる $g(x)$ の根があり, $K(\alpha) = K(\beta)$ .

証明 $g(x)$ の根を $\beta_{1}, \ldots, \beta_{n}$ とする. $L \subset F, \beta_{1}, \ldots, \beta_{n} \in F$ となるような $K$ の有限次拡大体 $F$ をとり, 付値を延長しておく. $f(\alpha) = 0$ なので

\begin{align} \prod_{r=1}^{n} \vert \alpha - \beta_{r} \vert &= \vert \prod_{r=1}^{n} (\alpha - \beta_{r}) \\ &= \vert g(\alpha) \vert \\ &= \vert g(\alpha) - f(\alpha) \vert \\ &= \textrm{max} \{ \vert a_{i} - b_{i} \vert \cdot \vert \alpha \vert^{n-i} : i = 1, \ldots, n \} \\ &\lt c^{n} \end{align}

なので, $\vert \alpha - \beta_{r} \vert \lt c$ となる $r$ が存在する. すると, クラスナーの補題より $\alpha \in K(\beta_{r})$ である.

同様にして, 各 $\alpha_{i}$ に対して $\vert \alpha_{i} - \beta_{r_{i}} \vert \lt c$ となる $r_{i}$ が存在する. よって, 写像 $i \mapsto r_{i}$ ができる. $i \not= j$ で $\vert \alpha_{i} - \beta_{s} \vert, \vert \alpha_{j} - \beta_{s} \vert \lt c$ なら $\vert \alpha_{i} - \alpha_{j} \vert \lt c$ となり, $c$ のとり方に矛盾する. よって $i \mapsto r_{i}$ は単射で, 定義域の集合は $n$ 元集合, 値域の集合の位数は $n$ 以下なので, 結局 $n$ 元集合から $n$ 元集合への単射となり, 全単射とわかる.

\begin{align} \vert \beta_{r_{i}} - \beta_{r_{j}} \vert &= \vert \beta_{r_{i}} - \alpha_{i} + \alpha_{i} - \alpha_{j} + \alpha_{j} - \beta_{r_{j}} \vert \\ &= \vert \alpha_{i} - \alpha_{j} \vert \end{align}

となるので

$\vert \alpha - \beta_{r} \vert \lt \textrm{min} \{ \vert \beta_{r_{i}} - \beta_{r_{j}} \vert : i \not= j \}$

ともなるので, 再びクラスナーの補題より $K(\beta_{r}) \subset K(\alpha)$ となる. よって $K(\alpha) = K(\beta_{r})$ で $\lbrack K(\alpha) : K \rbrack = n$ より $g(x)$ も $K$ 上既約である. (終)

これより, 次がわかります.

系 4. $L$ が局所体なら, 代数体 $K$ と $\mathcal{O}_{K}$ の素イデアル $\mathfrak{p}$ があり, $L$ は $K$ の $\mathfrak{p}$ 進完備化と同型である.

証明 $L = \mathbb{Q}_{p}(\alpha)$ で $f(x)$ を $\alpha$ の $\mathbb{Q}_{p}$ 上の最小多項式とする. 命題 $3$ より $\mathbb{Q}_{p}$ 上の多項式 $g(x)$ の係数が $f(x)$ の係数に十分近ければ, $g(x)$ の根 $\beta$ で $L = \mathbb{Q}_{p}(\beta)$ となるものがある. この $g(x)$ として $\mathbb{Q}$ の元をとれる. $K = \mathbb{Q}(\beta)$ とすると $K$ は代数体である.

$\mathfrak{P} \subset \mathcal{O}_{L}$ を素イデアルとすれば, $\mathfrak{p} := \mathfrak{P} \cap \mathcal{O}_{K}$ は素イデアルである. $\mathfrak{p} \cap \mathbb{Z} = p \mathbb{Z}$ であり, $\mathfrak{P}$ 進距離は $K$ 上では $\mathfrak{p}$ 進距離のベキである. $K$ の $L$ における閉包 $\hat{K}$ は $K$ の $\mathfrak{p}$ 進距離による完備化であり, $\mathbb{Q}_{p} \subset \hat{K}$ なので $\hat{K} = \mathbb{Q}_{p}(\beta) = \mathbb{Q}_{p}(\alpha) = L$ となる. (終)