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初学者向け群論解説 その１８ ～群の作用の定義と例～

初学者向け 群論

ここでは, 群の作用を定義し, いくつか具体例を見ていきたいと思います.

 

定義 1.(群の作用)  G を群, X を集合とする. このとき, 群 G の集合 X への左作用とは, 写像

\rho : G \times X \to X, \quad (g, x) \mapsto g \cdot x

で, 次の (1), (2) を満たすもののことである：

(1) \rho(1_{G}, x) = x.

(2) \rho(g, \rho(h, x)) = \rho(gh, x).

 

注意. 上の条件 (2) は

「 h を作用させたものにさらに g を作用させたもの」と「 gh を作用させたもの」が等しい

ということである.

左作用の条件 (2) のイメージ

注意. G の X への左作用には, \rho(g, x) のかわりに g \cdot x と書くこともある.

 

例.1.1(自明な作用) G を群, X を集合としたとき

G \times X \to X, \quad (g, x) \mapsto x

は明らかに左作用である. これを G の X への自明な作用という. 右作用の場合も同様である.

例.1.2 G を n 次対称群 \mathfrak{S}_{n}, X = \{ 1, 2, \ldots, n \} とする. このとき, 写像

\mathfrak{S}_{n} \times X \to X, \quad (\sigma, i) \mapsto \sigma(i)

は左作用となる. 実際, 1_{G} = 1 (恒等写像) は 左作用の条件 (1) を満たし, 条件 (2) は, \sigma, \tau \in \mathfrak{S}_{n}, i \in X に対して

(\sigma \tau)(i) = \sigma(\tau(i))

が置換の積の定義であることから満たす.

 

最後に, 一つ命題を紹介する.

命題 2. 群 G が集合 X に左から作用しているとする. このとき, 任意の g \in G に対して, g から定まる写像

L_{g} : X \to X, \quad x \mapsto \rho(g, x)

は全単射である.

証明 任意の g \in G に対して

L_{g^{-1}} : X \to X, \quad x \mapsto \rho(g^{-1}, x)

は L_{g} の逆写像である. 実際, 任意の x \in X に対して

L_{g} \circ L_{g^{-1}}(x) = L_{g}(\rho(g^{-1}, x)) = \rho(g, \rho(g^{-1}, x)) \overset{(2)}{=} \rho(g g^{-1}, x) \overset{(1)}{=} \rho(1_{G}, x) = x

であり, 同様に

L_{g^{-1}} \circ L_{g}(x) = L_{g^{-1}}(\rho(g, x)) = \rho(g^{-1}, \rho(g, x)) \overset{(2)}{=} \rho(g^{-1} g, x) \overset{(1)}{=} \rho(1_{G}, x) = x

となるので

L_{g} \circ L_{g^{-1}} = L_{g^{-1}} \circ L_{g} = \textrm{id}_{X}.

よって

L_{g^{-1}} = L_{g}^{-1}

である. よって L_{g} は全単射. (終)

 

今回はこれで終わります.

 

何か間違いなどがあれば教えてください.

 

【参考文献】

 

代数学1　群論入門 (代数学シリーズ)

代数学1　群論入門 (代数学シリーズ)

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