ガランガラのブログ

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群準同型 f : G → H が真部分群 K ⊂ G 以外で消えるとき

小ネタ 群論

ここでは群準同型 f : G \to H が 真部分群 K \subset G に対して f(G \setminus K)=\{ e \} となるときについて考えます.

結論は次の通りです.

 

命題 1. 群準同型 f : G \to H が 真部分群 K \subset G に対して f(G \setminus K)=\{ e \} となるとき, f(G)=\{ e \} である.

証明 g \in G \setminus K をひとつとる. 任意の x \in K に対して gx \in G \setminus K なので

f(x) = f(g) f(x) = f(gx) = e

となる. よって任意の x \in G に対して f(x)=e である. (終)

 

今回はこんな小ネタで.

 

何か間違いなどあれば教えてください.