指数２の部分群は正規部分群

今回は「指数 の部分群は正規部分群である」ことを示します. 群論の序盤のほうで演習などで出される印象が強いよくある問題です.

命題 1.  を群, を指数 の部分加群とする. このとき は正規部分群である.

証明 が指数 なので と直和でかける. に対して, なら であり, なら となるのでどちらにせよ が成り立つので は正規部分群である. (終)

何か間違いなどあれば教えてください.

[参考文献]

代数学1　群論入門 (代数学シリーズ)