ガランガラのブログ

数学や好きな音楽について書くことが多いです。

初学者向け群論解説 その７ ～準同型写像の定義と具体例～

初学者向け 群論

さて今回は「準同型写像の定義と具体例」についてまとめたいと思います.いよいよ本当に群論って感じの話になってきたかなと思います.

ではさっそく定義を見てみましょう.

定義 1.(準同型写像など) (G_1, \ast), (G_2, \star) を群, \phi : G_1 \to G_2 を写像とする. \phi が準同型写像, もしくは準同型であるとは任意の x, y \in G_1 に対して

\phi(x \ast y) = \phi(x) \star \phi(y)

が成り立つことをいう.

また \phi が逆写像を持ち, その逆写像もまた準同型になってるとき \phi を同型写像もしくは同型という. このとき G_1, G_2 は同型であるといい G_1 \cong G_2 とかく.

 

準同型写像の定義から, 準同型写像は「演算を保つ写像」であるといえます. 準同型写像のみたすべき性質の左辺は「 x, y を G_1 の中で積を取ってから \phi で送ったもの」であり, 右辺は 「 x, y をそれぞれ \phi で送ってから G_2 の中で積を取ったもの」です. これが等しくなるというのが準同型写像となります. 教科書では演算が省略されていて見落としてしまうかもしれませんが, ここで書いてあるように G_1 と G_2 の演算は異なっていても問題ありません. 

説明ばかりだとまだよくわからないかもしれないので具体例をいくつか見ていきましょう.

 

例 1.(恒等写像) (G, \ast) を群として, id_G : G \to G を恒等写像とする. このとき恒等写像は準同型写像である. (もっというと同型写像) 本当にそうか丁寧にチェックしてみましょう. x, y \in G を任意にとります. このとき

id_G (x \ast y) = x \ast y = id_G(x) \ast id_G(y)

なので確かに準同型写像になっています. 同型写像になることは逆写像が id_G 自身であることからわかります.

 

例 2. \mathbb{R}^{+} := \{ r \in \mathbb{R} \mid r > 0 \} とおく. このとき ( \mathbb{R}^{+}, \times) は群になる. また ( \mathbb{R}, +) を加法群とする. このとき 

{\rm exp} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}, x \mapsto e^x

は準同型写像である. なぜなら x, y \in \mathbb{R} に対して

{\rm exp} (x+y) = e^{x+y} = e^x \times e^y = {\rm exp} (x) \times {\rm exp} (y)

となるからである. これは演算が異なる群の間の準同型写像になっていますね.

 

例 3.(準同型写像でない例) ( \mathbb{R}, +) を加法群とする. このとき

\phi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto x^2

は準同型写像ではないです. なぜなら

\phi(1+1) = 2^2=4

\phi(1) + \phi(1) = 1+1=2

となるからです.

 

例 4.(行列式) ({\rm GL}_n (\mathbb{R}), \times) を一般線形群とします. (一応復習ですが正則行列全体が行列の積を演算として群となっているものです)

また ( \mathbb{R}^{\times} (= \mathbb{R} \setminus \{0\}), \times ) を \mathbb{R} の乗法群とします. このとき

{\rm det} : {\rm GL}_n (\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^{\times}

は準同型写像, すなわち A, B \in {\rm GL}_n (\mathbb{R}) に対して

{\rm det} (AB)={\rm det} (A) {\rm det} (B)

が成り立ちます. これは線形代数などで習う行列式の大事な性質ですね. 

 

さていろいろな準同型写像の例を見てきましたが少しは雰囲気が伝わったでしょうか.

次回は準同型写像の性質についてまとめたいと思います.

 

何か間違いなどあれば教えてください

 

[参考文献]

 

代数学1　群論入門 (代数学シリーズ)

代数学1　群論入門 (代数学シリーズ)

Amazon