ガランガラのブログ

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ベキ零群の極大部分群は正規である

ここでは

ベキ零群の極大部分群は正規である

という命題を示していこうと思います.

まずはベキ零群を定義しましょう.

定義 1.  G の降中心列が有限の長さで自明群になるとき,  Gベキ零群 という. すなわち,  G_{0} = G, G_{i+1} = \lbrack G_{i}, G \rbrack によって定まる正規部分群の列で

 G = G_{0} \triangleright G_{1} \triangleright \cdots \triangleright G_{n} = \{ 1 \}

とできる. ただし  \lbrack G_{i}, G \rbrack G_{i} G の交換子全体で生成される部分群である. つまり

 \lbrack G_{i}, G \rbrack := \langle \{ aba^{-1}b^{-1} \mid a \in G_{i}, b \in G \} \rangle

である.

注意 1.1 ベキ零群の定義にはいくつか同値な定義が存在する.

また, 準備として正規化群も定義します.

定義 2.  G を群とし,  H G の部分群とする. このとき  H正規化群  N_{G}(H)

 N_{G}(H) := \{ g \in G \mid gHg^{-1}=H \}

と定義する.

定義から明らかに  H N_{G}(H) の正規化群になります.  H の正規化群とは

 G H を含む部分群  K H K正規部分群となるものの中で最大のもの

といえます.

また

 H G正規部分群  \Longleftrightarrow N_{G}(H) = G

も成り立ちます.

では命題を示していきましょう.

命題 3. G をベキ零群,  H G の極大部分群とする. このとき  H G正規部分群である.

証明  G がベキ零群なので, 降中心列

 G = G_{0} \triangleright G_{1} \triangleright \cdots \triangleright G_{n} = \{ 1 \}

がとれる.  G_{k+1} \subset H となる最小の  k をとる. すると,  G_{k} \not \subset H であり, 

 \lbrack G_{k} , H \rbrack \subset \lbrack G_{k} , G \rbrack = G_{k+1}  \subset H

となる. よって, 任意の  a \in G_{k} , b \in H に対して

 aba^{-1}b^{-1} \in H

より

 aba^{-1} \in Hb = H

となり, これは  b \in N_{G}(H) を意味する. つまり  G_{k} \subset N_{G}(H) がわかる. よって

 H \subsetneq H \cup G_{k} \subset N_{G}(H)

となり,  H の極大性から  N_{G}(H) = G なので,  H G正規部分群である. (終)

 

今回はこれで終わります.

何か間違いなどがあれば教えてください.

 

[参考文献]