ガランガラのブログ

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ベキ零群の極大部分群は正規である

群論 小ネタ 演習

ここでは

ベキ零群の極大部分群は正規である

という命題を示していこうと思います.

まずはベキ零群を定義しましょう.

定義 1. 群 G の降中心列が有限の長さで自明群になるとき, G を ベキ零群 という. すなわち, G_{0} = G, G_{i+1} = \lbrack G_{i}, G \rbrack によって定まる正規部分群の列で

G = G_{0} \triangleright G_{1} \triangleright \cdots \triangleright G_{n} = \{ 1 \}

とできる. ただし \lbrack G_{i}, G \rbrack は G_{i} と G の交換子全体で生成される部分群である. つまり

\lbrack G_{i}, G \rbrack := \langle \{ aba^{-1}b^{-1} \mid a \in G_{i}, b \in G \} \rangle

である.

注意 1.1 ベキ零群の定義にはいくつか同値な定義が存在する.

また, 準備として正規化群も定義します.

定義 2. G を群とし, H を G の部分群とする. このとき H の正規化群 N_{G}(H) を

N_{G}(H) := \{ g \in G \mid gHg^{-1}=H \}

と定義する.

定義から明らかに H は N_{G}(H) の正規化群になります. H の正規化群とは

G の H を含む部分群 K で H が K の正規部分群となるものの中で最大のもの

といえます.

また

H が G の正規部分群 \Longleftrightarrow N_{G}(H) = G

も成り立ちます.

では命題を示していきましょう.

命題 3. G をベキ零群, H を G の極大部分群とする. このとき H は G の正規部分群である.

証明 G がベキ零群なので, 降中心列

G = G_{0} \triangleright G_{1} \triangleright \cdots \triangleright G_{n} = \{ 1 \}

がとれる. G_{k+1} \subset H となる最小の k をとる. すると, G_{k} \not \subset H であり, 

\lbrack G_{k} , H \rbrack \subset \lbrack G_{k} , G \rbrack = G_{k+1}  \subset H

となる. よって, 任意の a \in G_{k} , b \in H に対して

aba^{-1}b^{-1} \in H

より

aba^{-1} \in Hb = H

となり, これは b \in N_{G}(H) を意味する. つまり G_{k} \subset N_{G}(H) がわかる. よって

H \subsetneq H \cup G_{k} \subset N_{G}(H)

となり, H の極大性から N_{G}(H) = G なので, H は G の正規部分群である. (終)

 

今回はこれで終わります.

何か間違いなどがあれば教えてください.

 

[参考文献]

代数学1　群論入門 (代数学シリーズ)

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代数演習 (数学演習ライブラリ)

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