初学者向け群論解説その１７～準同型定理その３(準同型の分解)～

前回は第二同型定理, 第三同型定理についてまとめました.

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今回は準同型の分解についてまとめます.

定理 1.(準同型の分解) $G, H$ を群とし, $\phi : G \to H$ を準同型とする. さらに $N \triangleleft G$ を正規部分群とし, $\pi : G \to G/{N}$ を自然な全射準同型とする. このとき下図が可換図式となるような準同型 $\psi : G/{N} \to H$ が存在するための必要十分条件は $N \subset \textrm{Ker}(\phi)$ となることである.

\begin{xy} \xymatrix{ G \ar[r]^{\phi} \ar[d]_{\pi} & H \\ G/{N} \ar@{.>}[ur]_{\psi} } \end{xy}

証明条件をみたすような準同型 $\psi$ が存在したとする. すると, $N = \textrm{Ker}(\pi) \subset \textrm{Ker}(\psi \circ \pi) = \textrm{Ker}(\phi)$ となり OK.

逆に $N \subset \textrm{Ker}(\phi)$ とする. このとき第二同型定理より, 準同型 $f : G/{N} \to G/{\textrm{Ker}(\phi)} ; f(gN)=g \textrm{Ker}(\phi)$ が存在する. すると自然な全射準同型 $\pi' : G \to G/{\textrm{Ker}(\phi)}$ に対して, 準同型定理より準同型 $\psi' : G/{\textrm{Ker}(\phi)} \to H$ で $\phi = \psi' \circ \pi'$ となるものが存在する. 明らかに $f \circ \pi = \pi'$ なので, $\psi = \psi' \circ f$ とおけば OK. (終)