前回は部分群についてまとめてみました. mathgara.hatenablog.com 今回は群の部分集合が生成する部分群について簡単にまとめたいと思います. 最初はややこしく感じるかもしれませんが "生成する" という概念数学ではよく出てくる操作ですので, そのイメージ…

ここでは「射影加群だが自由加群でない例」を挙げたいと思います. まずは, 自由加群はいいとして, 射影加群の定義を確認します. 定義 1. (射影加群) を環とする. このとき, 左 加群 が 射影加群 であるとは, 任意の左 加群の全射準同型 と任意の左 加群の準…

ここでは圏論における "全射" を定義して, 直感に反するような全射の例を紹介します. まずは定義から. 定義 1. 圏 の射 が 全射的(epimorphic, epic) であるとは, 任意の対象 への からの任意の二つの射 に対し, ならば が成り立つことをいう. このとき を …

演習 を奇素数とする. このとき の分子は の倍数である. 解答例 より なので である. は全単射. よって mod で を考えると よって の分子は の倍数である. (終) 何か間違いなどあれば教えてください

演習 を素数, とする. このとき は mod の原始根, すなわち の生成元であることを示せ. 解答例 まず仮定の等式から が明らかにわかるので, は奇素数である. より, の位数の候補は である. いま明らかに > であるので はあり得ない. もし位数が であるとする…

「その１」の具体例で二次体での素数の分解を紹介しました. mathgara.hatenablog.com 今回はこの話をより詳しく見ていこうと思います. を平方因子を持たない整数, を二次体とします. 特に, > のとき 実二次体 < のとき 虚二次体 といいます. また の整数環は…

今回は を環の拡大として, が 上整としたとき, が において単元なら において単元であることを示します. まずは少し定義を述べます. 定義 1. を環の拡大とする. が 上整とは, がある 係数モニック多項式の根になることである. の任意の元が 上整なら が 上整…

ここでは部分群の定義, 判定法などをまとめていきたいと思います. 早速定義から見ていきましょう. 定義 1.(部分群) を群とする. が の演算によって群になるとき, を の部分群という. 例を見る前に, 群の部分集合が部分群になっているかを判定する方法を紹介…

前回の話 mathgara.hatenablog.com ここでは群の定義だけから示すことができる, 群に関しての一般的な性質をまとめてみたいと思います. 群の定義を思い出しておきましょう. 定義 1. (群) 集合 と 上の二項演算 の組 が 群である とは, 次の の条件を満たすこ…

相関係数についてベクトルを用いて幾何的な解釈を紹介してみたいと思います. 「なんか高校の時にやったけど公式とかややこしかったなあ」 という人や 「なんで相関係数って から なんやっけ」 という人は目を通してみてください. 相関係数とは何だったか, 定…

ここでは, 代数体の拡大において, ある条件の下でそれぞれの類数に約数・倍数の関係がうまれることを紹介します. 命題 1. を Galois群が Abel 群になるような非自明な不分岐部分拡大 をもたない代数体の拡大と仮定する. このとき, の類数 は の類数 を割る. …

命題 有限整域は体である. 証明 を有限整域とする. をとる. このとき は有限集合より, ある自然数 > が存在して, であり, よって, となる. は整域で, なので より の乗法逆元は となり は体である. (終) 何か間違いなどあれば教えてください.

早速本題に入りましょう. 命題 を定数でない多項式とする. このとき は無限集合. 証明 が有限集合 と仮定する. となる整数 をとる. このとき ある多項式 が存在して となる. 特に, は任意の整数 に対して で割り切れる. 今 とおく. このとき も定数ではなく,…

ここでは群の定義と例をまとめたいと思います. 定義 1. (二項演算) を集合とする. このとき, 集合 上で定義される二項演算とは, 写像 のことである. この定義だけ見てもイメージがわかないかもしれないですが, 簡単に言うと, つの元を使って つの元を定める…

ここでは Hilbert の分岐理論を用いて, "代数体の有限次拡大 が巡回拡大でない Galois 拡大ならば, で分解しない のイデアルは高々有限個" という事実を示します. まずは今回出てくる言葉の定義や定理をまとめます. 定義 1. 代数体の有限次 Galois 拡大 に対…

群論をこれから学んでいく, いきたいと思っている人の多少の助けになりそうなことをまとめていきたいと思います. 設定(想定対象者や到達目標など) 想定対象者は 数学科系の学生ではじめて群論を学ぶ, もしくは講義があったがよくわからなかった人 です. 僕自…

Hilbert の分岐理論という面白い話があるのですが, 一回では説明しきれないので何回かに分けて, 大体ノイキルヒの１章の８～１０節あたりの話を簡単に証明などは省いてまとめていきたいと思います. 今回は８節あたりとその具体例をまとめたいと思います. 定…

今回は群論で有名なラグランジュの定理の逆の反例について紹介したいと思います. まずはそもそもラグランジュの定理とはどのような定理だったのか確認しましょう. 定理 有限群 の部分群 に対して, が成り立つ. 特に有限群の部分群の位数はもとの有限群の位数…

今回は, 今では「定義通り考えればいいやん」って思うんですが, 当時初めて勉強した時はなんやかんや理解するのに時間がかかった"相対位相"について, 過去の初学者だった自分に伝えるような感じでまとめたいと思います. より具体的には Euclid 空間 の部分集…

代数的整数論には 任意の代数体のイデアル類群は有限群である という大事な定理があります. 今回はこの定理を用いて"任意の代数体 に対して, ある の有限次拡大体 が存在して, の任意のイデアルが において単項イデアルになる" ということを示します. (ノイ…

ここでは複素解析でよく知られた「一致の定理」の 版を紹介します. そもそも とは何かというと, 素数 に対して 進数体 があり, これの代数閉包 を考えるのですが, これは完備でないので完備化したものが です. ちょうど と のような関係です. 定理に入る前に…

ここでは多項式環の単元を決定したいと思います. この際次の事実を使います. (もちろん使わなくてもいいですが使うと記述が明快になると思います) 命題 1. を環とする. このとき を環 のベキ零元全体の集合とするとこれはイデアルであり, の全ての素イデアル…

整数論の本を読んでいて証明が面白いなと思った定理があったので紹介します. Kroneckerの定理とも呼ばれているらしいです.(もしかしたら間違いかもしれないです) では主張を述べて証明していきたいと思います. 定理 をすべての共役の絶対値が である代数的整…

ここでは Dedekind 整域の でないイデアルは 元生成である ということを示したいと思います. この命題を示すために, 次の定理を用います. 定理 1. Dedekind 整域の でない任意のイデアルは素イデアルの積として一意的に表される. また次の補題も使うので示し…

今回は「 個以上の異なる解をもつ 次方程式」について考えてみます. とはいっても, 僕が大学で代数学をやるまでは「 次方程式は高々 個の解をもつ」と理解していましたし, 高校でも出てくる主張なので決して大間違いというわけではないです. でも大学などで…

今回は群論の Theorem について簡単にまとめたいと思います. はNormalizer, はCentralizer のことです. まずはこれから使う概念の定義を簡単にまとめます. 定義 1. を群 の部分群とする. を の正規化群(normalizer)という. を の中心化群(centralizer) とい…

問題 を 以上の奇数とするとき, となる有限群 は存在しないことを示せ. 解答例 背理法で示す. 条件を満たす有限群 が存在したとする. 一般に を群 の中心, を内部自己同型群とすると となり, 今回 が巡回群なので も巡回群になり, よって はアーベル群になる…

はじめまして。