ガランガラのブログ

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体の拡大と類数

整数論

ここでは, 代数体の拡大において, ある条件の下でそれぞれの類数に約数・倍数の関係がうまれることを紹介します.

 

命題 1.　 L/K を Galois群が Abel 群になるような非自明な不分岐部分拡大 F/K をもたない代数体の拡大と仮定する. このとき, K の類数 h_k は L の類数 h_L を割る.

 

証明　 H を K のHilbert 類体 ( K の最大不分岐 Abel 拡大)とすると, 類体論より Gal( H/K) は K のイデアル類群に同型である. 仮定より,  H \cap L =K である. よって [ LH : L ] = [ H : K ] となる. しかし, LH/L は不分岐 Abel 拡大より, H' を L の Hilbert 類体とすると LH \subset H' なので h_K=[ H : K ] = [ LH : L ] は h_L=[ H' : L ] を割る. (終) 

この命題よりただちに次の系が従います.

 

系 2.　 K を CM 体, K^{+} を K の最大実部分体とし, それぞれの類数を h, h^{+} とすると, h^{+} は h を割る.

h^{-} := h/h^{+}

を相対類数と呼ぶ.

 

また, 系２. で特に K を円分体にした場合, C, C^{+} をそれぞれのイデアル類数とすると, 自然な単射

C^{+} \hookrightarrow C

が存在するという, より強い主張が成り立ちます.

 

何か間違いなどあれば教えてください.

 

[参考文献]

 

Introduction to Cyclotomic Fields (Graduate Texts in Mathematics Book 83) (English Edition)

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代数的整数論

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