ガランガラのブログ

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p-1=4q のとき２は mod p で原始根

整数論 演習

演習 p, q を素数,  p-1=4q とする. このとき 2 は mod p の原始根, すなわち \mathbb{F}_p^{\times} の生成元であることを示せ.

 

解答例 まず仮定の等式から q \not= 2 が明らかにわかるので, q は奇素数である. |\mathbb{F}_p^{\times}|=p-1=4q より, 2 の位数の候補は 1, 2, 4, q, 2q, 4q である. いま明らかに p > q であるので 1, 2, 4 はあり得ない. もし位数が q, 2q であるとすると 2 が mod p で平方剰余ということになるが, 最初に述べたように q は奇素数なので p=4q+1 \equiv 5 mod 8 であり矛盾である. (終)

 

何か間違いなどあれば教えてください.

 

[参考文献]

 

Problems in Algebraic Number Theory (Graduate Texts in Mathematics)

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