1+1/2+1/3+・・・+1/(p-1) の分子は p の倍数

演習 $p$ を奇素数とする. このとき $1+ \dfrac{1}{2}+ \cdots + \dfrac{1}{p-1}$ の分子は $p$ の倍数である.

解答例 $1 \leq k \leq p-1$ より $k \in \mathbb{F}_{p}^{\times}$ なので $\dfrac{1}{k} \in \mathbb{F}_p$ である. $\iota : \mathbb{F}_{p}^{\times} \to \mathbb{F}_{p}^{\times},\ x \mapsto \dfrac{1}{x}$ は全単射. よって mod $p$ で $1+ \dfrac{1}{2}+ \cdots + \dfrac{1}{p-1}$ を考えると