多項式環の単元 - ガランガラのブログ

ここでは多項式環の単元を決定したいと思います. この際次の事実を使います. (もちろん使わなくてもいいですが使うと記述が明快になると思います)

命題 1.　 $A$ を環とする. このとき $\mathfrak{N} \subset A$ を環 $A$ のベキ零元全体の集合とするとこれはイデアルであり, $A$ の全ての素イデアルの共通部分である. (この $\mathfrak{N}$ をベキ零元根基という)

証明　まずイデアルになることを示す. $x \in \mathfrak{N}$ とするとある $n \in \mathbb{N}$ が存在して $x^n=0$ であり, 任意の $a \in A$ に対して $(ax)^n=0$ より $ax \in \mathfrak{N}$ となる. また任意の $x, y \in \mathfrak{N}$ に対してある $m, n \in \mathbb{N}$ が存在して $x^m=0, y^n=0$ となるがこのとき $(x+y)^{m+n-1}=0$ となり $x+y \in \mathfrak{N}$ が成り立つこともわかるのでイデアルとなる. つぎに後半の主張を示す. $X$ を $A$ の全ての素イデアルの共通部分とする.

( $\mathfrak{N} \subset X$ について) 任意の $f \in \mathfrak{N}$ に対してある $n \in \mathbb{N}$ が存在して $f^n=0 \in X$ で素イデアルの定義から $f \in X$ がわかる.

( $\mathfrak{N} \supset X$ について) $f \not \in \mathfrak{N}$ とするとき, $f \not \in X$ を示す. $\Sigma$ を次の性質を持つイデアル $\mathfrak{a}$ の集合とする.

$n \in \mathbb{N} \Longrightarrow f^n \not \in \mathfrak{a}$

このとき $\Sigma$ は包含関係により順序集合になりZornの補題が適用できることがわかる. その極大元を $\mathfrak{p}$ としたときこれが素イデアルになる. 実際 $x, y \not \in \mathfrak{p}$ とすると, イデアル $\mathfrak{p}+(x), \mathfrak{p}+(y)$ はともに $\mathfrak{p}$ を真に含むイデアルで $\mathfrak{p}$ の極大性からこれらは $\Sigma$ に入らない. よってある $m, n \in \mathbb{N}$ が存在して

$f^m \in \mathfrak{p}+(x), f^n \in \mathfrak{p}+(y)$

となり, $f^{m+n} \in \mathfrak{p}+(xy)$ となり, $\mathfrak{p}+(xy) \not \in \Sigma$ より $xy \not \in \mathfrak{p}$ となり $\mathfrak{p}$ は素イデアルで, 作り方から明らかに $f \not \in \mathfrak{p}$ より $f \not \in X$ がわかる. (終)