ガランガラのブログ

数学や好きな音楽について書くことが多いです。

f(n) を割る素数

整数論

早速本題に入りましょう.

命題　 f(x) \in \mathbb{Z}[x] を定数でない多項式とする. このとき

P_{f}=\{p : prime \mid \exists n \in \mathbb{Z}, p | f(n) \not= 0 \}

は無限集合.

証明　 P_f が有限集合 \{p_1, p_2, \cdots p_k \}と仮定する. f(s)=t \not= 0 となる整数 s をとる. このとき ある多項式 g(x) \in \mathbb{Z}[x] が存在して

f(s+tp_1 \cdots p_kx)=f(s)+ tp_1 \cdots p_kg(x)=t(1+p_1 \cdots p_kg(x))

となる. 特に, f(s+tp_1 \cdots p_kx) は任意の整数 x に対して t で割り切れる. 今

h(x) := \cfrac{1}{t} f(s+tp_1 \cdots p_kx)=1+p_1 \cdots p_kg(x)

とおく. このとき h も定数ではなく, よってある整数 a が存在して, h(a) \not= 1 となる. h(a) \equiv 1 mod p_1 \cdots p_k であるので, ある素数 p \not= p_i, i=1, \cdots, k が存在して, p | h(a) であり, p | t \cdot h(a)=f(a) となるので p \in P_{f} となり矛盾. (終)

 

何か間違いなどあれば教えてください.

 

[参考文献]

 

代数的整数論

代数的整数論

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