ここでは を整数, を奇素数として と の最大公約数を求めたいと思います. 少し具体例を見てみましょう. のとき： のとき のとき のとき のとき のとき のとき のとき のとき： のとき のとき のとき のとき のとき のとき のとき 少しだけですがなにやら 「 …
今回はスピッツの『僕はきっと旅に出る』を紹介します。 知ってる人は少ないかもしれないですが僕はいい曲だと思います。 僕はきっと旅に出る スピッツ J-Pop ¥255 provided courtesy of iTunes 早速少し好きな歌詞を紹介します。 またいつか旅に出る 今はま…
正規拡大だが分離拡大でない体の拡大の例を紹介します. 命題 1. は非分離な正規拡大である. 証明 が の 上の最小多項式であり, なので正規拡大かつ非分離拡大であることがわかる. (終) 何か間違いなどあれば教えてください. [参考文献] 代数学2 環と体とガロ…
ここではオイラーの 関数と の乗法群の生成元の割合について簡単にまとめたいと思います. オイラーの 関数は素朴な定義なのに整数論では頻繁に出てくる大事な関数だと思います. ではまずは定義からです. 定義 1. に対して, のなかで と互いに素なものの個数…
行列の書き方がわかりません 教えてほしいです
今回は「指数 の部分群は正規部分群である」ことを示します. 群論の序盤のほうで演習などで出される印象が強いよくある問題です. 命題 1. を群, を指数 の部分加群とする. このとき は正規部分群である. 証明 が指数 なので と直和でかける. に対して, なら …
ここでは自由加群の自由加群でない部分加群の例を簡単に挙げます. ちなみに一般的に 上の自由加群の部分加群は自由加群である という事実があります. なので環としては でないものを用意して考えてみました. 命題 とすると, は の自由加群でない部分加群であ…
今回紹介するのは THE BLUE HEARTS の 『情熱の薔薇』です。 公式の動画が YouTube にあるので載せておきます。 このバンド自体は僕の親世代のバンドなので映像とかは白黒だったりしますが聴いたことがある人も多いのではないかと思います。ちょっとサムネが…
さて今回は「準同型写像の定義と具体例」についてまとめたいと思います.いよいよ本当に群論って感じの話になってきたかなと思います. ではさっそく定義を見てみましょう. 定義 1.(準同型写像など) を群, を写像とする. が準同型写像, もしくは準同型であると…
昨日 11/21 (日) にライブ直前にチケットを買って SAKANAQUARIUM 【アダプト】ONLINE を視聴しました。 新曲が多かったのですがその中でも最後の「フレンドリー」がなんか自分が好きそうな曲の雰囲気でした。「月の椀」もカラオケとかで歌ってみたくなる感じ…
ここでは, おそらく多くの人も気付いているかもしれない合成数の素因数に関する性質を紹介します. 命題 1. を合成数とする. このとき は なる素因数 をもつ. 証明 が合成数なので と整数の積で書ける. ただしこのとき < < としていい. このとき である. なぜ…
命題 1. 有限群 の真部分群 が の任意の真部分群を含むとき は巡回 群である. 証明 をとると仮定から となるので巡回群になるのは OK. を を割る素数とする. が 群でないなら を割る と異なる素数 が存在する. このとき はともに の真部分群なので に含まれ,…
今回はサカナクションの『ボイル』を紹介したいと思います。 とはいっても MV などがあるわけではないのでもし興味がある人は探して聴いてみてください。 サカナクションの6枚目のアルバム「sakanaction」に収録されています。 ボイル サカナクション ロック…
今回は整拡大における極大イデアルの性質を紹介します. 補題 1. を整域かつ整拡大とする. このとき が体である が体である. 証明 [ について] とする. このとき最小次数をもつ整従属関係式を とする. このとき最小次数で が整域なので である. よって となり…
ここでは、整従属性が剰余環や商環に移っても保存されることを紹介します. 一応整従属について定義を確認します. 定義 1. を環の拡大とする. このとき はある 係数のモニック多項式の根であるとき 上整という. の任意の元が 上整であるとき が 上整という. …
ここでは「群の元の位数」についてまとめたいと思います. 一応前回の記事を載せておきます. mathgara.hatenablog.com 位数というと群に対してその元の個数も位数といっていました. 少しややこしいかもしれませんが混乱しないように気を付けてください. さっ…
今回はサカナクションではなく、フジファブリックで僕が好きな曲を紹介したいと思います。曲名は『赤黄色の金木犀』です。 MV が YouTube にあがっているので載せておきます。 www.youtube.com まずこの曲のイントロが好きです。曲全体のテーマが「秋」とい…
ここでは有理整数環 の自己同型を決定します. といっても簡単です. を の自己同型とすると, が もしくは で生成されるので となりますが, 環準同型写像は を にうつすので となり, となります. 何か間違いなどあれば教えてください. [参考文献] 代数学2 環と…
ここではサカナクションの『ナイトフィッシングイズグッド』を紹介します。 MV が YouTube にあるのでリンクを載せておきます。(割と曲は長め) www.youtube.com この曲は僕が高校生の時に夜の帰り道でよく聴いていました。僕の地元はまあまあ田舎で自宅と最…
ここでは「ベキ零でないベキ零元根基」の例を挙げたいと思います. 一般にネーター環のベキ零元根基はベキ零になるので、ネーター環でない環で考えないといけないということになります. パッと思いついたネーター環でない環は とかですかね. では紹介します. …
問題 環の拡大 について, が乗法的に閉じているとき は整閉であることを示せ. 解答例 が 上整とすると となる自然数 と が存在する. このとき のとり方から であり, またそのような で最小なものとしてとることにする.ここで とおくと, の最小性から である.…
ここでは, 最近心理学の本を読んでみたときに載っていた「安いネックレス」という問題を紹介します. 答えは最後に載せておきます. 問題 個の輪がつながった 本の鎖を全部つないで つのネックレスにせよ. ただし, 個の輪を開くのに セント, 閉じるのに セント…
ここでは, なんか僕が初めて出会ったときに, 言われてみれば当たり前だけど面白いなあと感じた素数についての簡単な不等式を紹介します. 命題 1. を 番目の素数とするとき 証明 は と互いに素である. よって 以上の素数の倍数であるので不等式が成立する. 何…
毎週日曜日は自分がよく聴く音楽を載せてみようと思いました。 今回はそういった試みの初回です。なので僕が好きなバンドであるサカナクションを知るきっかけとなった『僕と花』を紹介したいと思います。 一応 MV が Youtube にあるので載せておきます。 www…
今回は 進数の積公式についてまとめたいと思います. 命題 1. 任意の有理数 に対して, が成り立つ. ただし, はすべての素数と をわたるとする. 証明 の素因数分解 を考え, また の符号は であることから なので主張が成り立つ. (終) すこし例を見てみましょう…
ここではエルミート行列の固有値についてまとめてみたいと思います. 命題 1. を の標準エルミート内積とし, を 次エルミート行列, すなわち共役転置 に対し, とする. このとき次が成立する. の固有値はすべて実数である. 以下, を の固有値とする. 各固有値 …
ブール環の本当に簡単な性質をまとめます. まずは定義を述べましょう. 定義 1. 環 はすべての に対して をみたすとき ブール環 という. 命題 2. ブール環 について次が成立する. すべての に対して, すべての素イデアル は極大イデアルであり, はハウスドル…
命題 1. を環の拡大とし, を の素イデアルとする. このとき, が素イデアルならば も素イデアルである. 証明 より素イデアルの逆像は素イデアルなのでOK. (終)
ここでは巡回群についてまとめたいと思います. 前回 「部分集合が生成する部分群」 というものをまとめました. 今回する巡回群の定義に必要になるので載せておきます. mathgara.hatenablog.com では早速定義から入りましょう. 定義 1.(巡回群) 群 が 巡回群 …
ここでは「 環でない 次元ネーター整域」の例を挙げたいと思います. 環の定義をまずは確認します. 定義 1. 次元ネーター整閉整域を 環 という. よって整閉性を外せばいいです. 代数体の整数環はかならず 環になることが知られていますが, 整数環の部分環でい…
