ガランガラのブログ

数学や好きな音楽について書くことが多いです。

A上整な単元

環論 演習

今回は A \subset B を環の拡大として, B が A 上整としたとき, x \in A が B において単元なら A において単元であることを示します.

まずは少し定義を述べます.

定義 1.   A \subset B を環の拡大とする. x \in B が A 上整とは, x がある A 係数モニック多項式の根になることである. B の任意の元が A 上整なら B が A 上整という.

では本題を示したいと思います.

命題 2.  A \subset B を環の拡大として, B が A 上整としたとき, x \in A が B において単元なら A において単元である.

証明 x が B で単元なのである y \in B が存在して, xy=1 となる. y \in A がいえればいい. y は A 上整なので

y^n+a_1y^{n-1}+ \cdots + a_n=0 \ (a_i \in A)

となる. すると

y=-x^{n-1}(a_1y^{n-1}+ \cdots + a_n)=-(a_1+ \cdots +a_nx^{n-1}) \in A

よりOK. (終)

 

何か間違いなどあれば教えてください.

 

[参考文献]

 

Atiyah‐MacDonald 可換代数入門

Atiyah‐MacDonald 可換代数入門

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