ガランガラのブログ

数学や好きな音楽について書くことが多いです。

群の自己同型群と巡回群

群論演習

問題 $n$ を $3$ 以上の奇数とするとき,

$Aut(G) \cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

となる有限群 $G$ は存在しないことを示せ.

解答例　背理法で示す. 条件を満たす有限群 $G$ が存在したとする.

一般に $Z(G)$ を群 $G$ の中心, $Inn(G)$ を内部自己同型群とすると

$G/Z(G) \cong Inn(G) \lhd Aut(G)$

となり, 今回 $Aut(G)$ が巡回群なので $G/Z(G)$ も巡回群になり,

よって $G$ はアーベル群になる(一般論). ここで $g \in G$ をその逆元 $g^{-1}$

におくる自己同型を考える. これが自明でないならば, これは $Aut(G)$ の

位数2の元となり $Aut(G)$ の位数が奇数であることに矛盾する.

自明になるときを考える. このとき $G$ は $\mathbb{F}_2$ の $2$ つ以上の

直積と同型になり, このときも非自明な位数 $2$ の元(座標を入れ替えるものなど)が存在することが言える. よって条件を満たす有限群 $G$ は存在しない.　(終)

※選択公理を認めれば同様の議論で自己同型群が奇数位数の巡回群に同型になるようなものは存在しないことがわかります.

何か改善点などがあれば教えてください.