ガランガラのブログ

数学や好きな音楽について書くことが多いです。

有限整域は体

環論演習

命題　有限整域は体である.

証明　 $A$ を有限整域とする. $a \in A \setminus \{0\}$ をとる. このとき $A$ は有限集合より, ある自然数 $m$ > $n$ が存在して, $a^m=a^n$ であり, よって, $a^n(a^{m-n}-1)=0$ となる. $A$ は整域で, $a \not=0$ なので $a^{m-n}-1=$ より $a$ の乗法逆元は $a^{m-n-1}$ となり $A$ は体である. (終)

何か間違いなどあれば教えてください.