ガランガラのブログ

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直感に反する"全射"

圏論

ここでは圏論における "全射" を定義して, 直感に反するような全射の例を紹介します.

まずは定義から.

定義 1.  圏 \mathscr{C} の射 e : X \to Y が 全射的(epimorphic, epic) であるとは, 任意の対象 Y' への Y からの任意の二つの射 f_1, f_2 : Y \to Y' に対し,

f_1 \circ e = f_2 \circ e ならば f_1=f_2

が成り立つことをいう.  このとき e を 全射 という.

 

例 集合の圏 {\bf Set} の射に関しては, 普通の全射の定義と一致します.

 

では少し直感に反する例を紹介します.

 

命題 2. 環の包含準同型 \iota : \mathbb{Z} \to \mathbb{Q} は可換環の圏 {\bf CRing} における全射である.

証明 任意の対象 A への \mathbb{Q} からの任意の二つの環準同型 f_1, f_2 : \mathbb{Q} \to A をとる. f_1 \circ \iota = f_2 \circ \iota より, 任意の有理数 \dfrac{n}{m} に対し, 

f_1 \left( \dfrac{n}{m} \right)=\dfrac{f_1(n)}{f_1(m)}=\dfrac{f_2(n)}{f_2(m)}=f_2\left( \dfrac{n}{m} \right)

より, f_1=f_2 なので \iota は全射. (終)

 

Remark: これは可換環とその局所化に対して同様の設定で成り立つ.

 

何か間違いなどあれば教えてください

 

[参考文献]

 

圏論の技法

圏論の技法

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