類数の有限性の応用 - ガランガラのブログ

代数的整数論には

任意の代数体のイデアル類群は有限群である

という大事な定理があります. 今回はこの定理を用いて"任意の代数体 $K$ に対して, ある $K$ の有限次拡大体 $L$ が存在して, $K$ の任意のイデアルが $L$ において単項イデアルになる" ということを示します. (ノイキルヒの1章6節の練習7(ほぼ6)です)

命題　任意の代数体 $K$ に対して, ある $K$ の有限次拡大体 $L$ が存在して, $K$ の任意のイデアルが $L$ において単項イデアルになる.

証明　 $K$ のイデアル類群を $Cl_{K}$ , 類数を $n$ ,

$Cl_{K}=\{[\mathfrak{a}_1], \ldots, [\mathfrak{a}_n] \}$ (ただし各 $\mathfrak{a}_i$ は整イデアル)

とする. このとき, 各 $[\mathfrak{a}_i]$ の位数を $m_i$ とおくと, 各 $\mathfrak{a}_i$ に対してある $\alpha_i \in \mathcal{O}_{K}$ が存在して, $\mathfrak{a}_{i}^{m_i}=(\alpha_i)$ となる. ここで

$L=K(\sqrt[m_1]{\alpha_1}, \cdots, \sqrt[m_n]{\alpha_n})$

とおくと, これが求める体であることを示す. まず各 $i$ について $(\mathfrak{a}_{i} \mathcal{O}_{L})^{m_i}= (\alpha_i)$ より $\mathfrak{a}_{i} \mathcal{O}_{L}= (\sqrt[m_i]{\alpha_i})$ と $L$ において単項イデアルになる. さて整イデアル $\mathfrak{b}$ が $[\mathfrak{b}]=[\mathfrak{a}_i]$ となるとき, $\mathfrak{b}$ も $L$ において単項イデアルになることを示せば命題の証明が完了する. このときある $x, y \in \mathcal{O}_{K}$ が存在して $x\mathfrak{b}=y\mathfrak{a}_i$ となる. このとき両辺 $m_i$ 乗すると $x^{m_i} \mathfrak{b}^{m_i}=y^{m_i} \mathfrak{a}_{i}^{m_i}=(y^{m_i} \alpha_i)$ であり, $x \mathfrak{b} \mathcal{O}_{L}=y \sqrt[m_i]{\alpha_i} \mathcal{O}_{L}$ となるので $\mathfrak{b} \mathcal{O}_{L}=(x^{-1} y \sqrt[m_i]{\alpha_i})$ というように $L$ において単項イデアルになる. (終)

例　 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ とすると, $Cl_{K}=\{[(1)], [(2,1+\sqrt{-5})]\}$ であることはよく知られています. このとき $(2, 1+\sqrt{-5})^2=(2)$ より $L=K(\sqrt{2})=\mathbb{Q}(\sqrt{-5}, \sqrt{2})$ とすればいい.

ちなみに類体論において単項化定理という" $K$ のHIlbert 類体においてすべての $K$ のイデアルは単項イデアルになる" という定理があります. この例の $K$ に対する Hilbert 類体 $H_{K}$ は $H_{K}=\mathbb{Q}(\sqrt{-5}, \sqrt{-1})$ となることが知られています. どちらの拡大においても $K$ の全てのイデアルは単項化されますが, $L \not= H_{K}$ となっています. これは $L/K$ が不分岐拡大でないことを意味しています. (Hilbert 類体の定義が「基礎体の最大不分岐 Abel 拡大」であり, $L/K$ はAbel 拡大にはなっているから)