Hilbert の分岐理論その２～二次体とLegendre 記号～

「その１」の具体例で二次体での素数の分解を紹介しました.

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今回はこの話をより詳しく見ていこうと思います.

$d \not=1$ を平方因子を持たない整数, $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ を二次体とします. 特に,

$d$ > $0$ のとき実二次体
$d$ < $0$ のとき虚二次体

といいます.

また $K$ の整数環は

$d \equiv 2, 3$ mod $4$ のとき $\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[\sqrt{d}] \cong \mathbb{Z}[x]/(x^2-d)$
$d \equiv 1$ mod $4$ のとき $\displaystyle \mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z} \left[ \dfrac{(1+\sqrt{d})}{2} \right] \cong \mathbb{Z}[x]/(x^2-x+\dfrac{1-d}{4})$

となります.

例

$(1)$ 　 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$ なら $d=-1 \equiv 3$ mod $4$ より $\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[\sqrt{-1}] \cong \mathbb{Z}[x]/(x^2+1)$

$(2)$ 　 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ なら $d=5 \equiv 1$ mod $4$ より $\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z} \left[ \dfrac{(1+\sqrt{5})}{2} \right] \cong \mathbb{Z}[x]/(x^2-x-1)$

さて $p$ を素数として二次体での分解を見ていきましょう.

まず, 「その１」で紹介した基本等式より考えられるパターンは今回は二次体なので $n=2$ であることから次の $3$ 通りになります.

分岐指数 $e$ のみが $2$ で [f=r=1] となる, すなわち 完全分岐
$r$ のみが $2$ でほかは $1$ となる, すなわち 完全分解される
相対次数 $f$ のみが $2$ で $e=r=1$ となる, すなわち 不分解

分岐するものは判別式を割るものであることが知られていて, 二次体の判別式 $\Delta$ は

$d \equiv 2, 3$ mod $4$ のとき $\Delta=4d$
$d \equiv 1$ mod $4$ のとき $\Delta=d$

であるので次がわかります.

命題 1. $d \not=1$ を平方因子を持たない整数, $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ を二次体とする. このとき素数 $p$ に対して

$d \equiv 2, 3$ mod $4$ のとき $p$ が完全分岐 $\Longleftrightarrow p | 4d$
$d \equiv 1$ mod $4$ のとき $p$ が完全分岐 $\Longleftrightarrow p | d$

よって分岐しないのは $(p, 2d)=1$ のときになります. このとき完全分解する条件を考えます.

ここで, $\mathcal{O}_{K}/(p)$ は

$d \equiv 2, 3$ mod $4$ のとき $\mathcal{O}_{K}/(p)=\mathbb{Z}[\sqrt{d}]/(p) \cong \mathbb{Z}[x]/(p, x^2-d) \cong \mathbb{F}_{p}[x]/(x^2-d)$
$d \equiv 1$ mod $4$ のとき $\displaystyle \mathcal{O}_{K}/(p)=\mathbb{Z} \left[ \dfrac{(1+\sqrt{d})}{2} \right]/(p) \cong \mathbb{Z}[x]/(p, x^2-x+\dfrac{1-d}{4}) \cong \mathbb{F}_{p}[x]/(x^2-x+\dfrac{1-d}{4})$

となります. これを見ると, 結局

$x^2 \equiv d$ mod $p$

が解をもつかどうかが素数 $p$ の分解に関わってきます. なぜならこの合同方程式の解が存在したとして, その解のひとつを $\sqrt{d}$ と書くことにすると

$d \equiv 2, 3$ mod $4$ のとき $x^2-d=(x-\sqrt{d})(x+\sqrt{d}) \ {\rm in} \ \mathbb{F}_p$
$d \equiv 1$ mod $4$ のとき $(x^2-x+\dfrac{1-d}{4})=(x-\dfrac{1-\sqrt{d}}{2})(x-\dfrac{1+\sqrt{d}}{2}) \ {\rm in} \ \mathbb{F}_p$

と因数分解され, この因子は異なるので, $p$ は $\mathcal{O}_{K}$ で完全分解します. この問題を扱いやすくするために Legendre 記号 というものを導入します.

定義 2.(Legendre 記号) $p$ を奇素数とする. $p$ と互いに素な整数 $a$ に対して合同方程式

$x^2 \equiv a$ mod $p$

が解をもつとき $\displaystyle \left( \dfrac{a}{p} \right)=1$ , 解をもたないとき $\displaystyle \left( \dfrac{a}{p} \right)=-1$ と定める. (分数じゃないです)

この記号は乗法的, すなわち

$\displaystyle \left( \dfrac{ab}{p} \right)=\left( \dfrac{a}{p} \right) \left( \dfrac{b}{p} \right)$

となります. この記号を用いると上で述べていたことは次のようになります.

命題 3. 平方因子を持たない整数 $d$ と $(p, 2d)=1$ を満たす素数 $p$ に対して,

$\displaystyle \left( \dfrac{d}{p} \right)=1 \Longleftrightarrow p$ が $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ で完全分解する

が成立する.

こうなると Legendre 記号を計算したくなりますが, 次のような公式が知られています.

定理 4.(平方剰余の相互法則) $2$ つの異なる奇素数 $p, q$ に対して

$\left( \dfrac{q}{p} \right) \left( \dfrac{p}{q} \right)=(-1)^{\frac{p-1}{2} \frac{q-1}{2}}$

が成り立つ.

定理 5.(補充法則) $p$ を奇素数とすると

$\left( \dfrac{-1}{p} \right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}},\ \left( \dfrac{2}{p} \right)=(-1)^{\frac{p^2-1}{8}}$

が成り立つ.

少し具体的に計算してみましょう.

例 $\left( \dfrac{24}{7} \right)=\left( \dfrac{2}{7} \right)\left( \dfrac{2}{7} \right)\left( \dfrac{2}{7} \right)\left( \dfrac{3}{7} \right) =\left( \dfrac{2}{7} \right)\left( \dfrac{3}{7} \right)$ となり, 補充法則より

$\left( \dfrac{2}{7} \right)=(-1)^{\frac{7^2-1}{4}}=(-1)^{12}=1$

であり, また平方剰余の相互法則を使うと

$\left( \dfrac{3}{7} \right)=\left( \dfrac{7}{3} \right)(-1)^{\frac{3-1}{2} \frac{7-1}{2}}=-\left( \dfrac{1}{3} \right)=-1$

となるので, $\left( \dfrac{24}{7} \right)=\left( \dfrac{2}{7} \right)\left( \dfrac{3}{7} \right)=-1$ となります.

もちろん $24 \equiv 3$ mod $7$ より, いきなり $\left( \dfrac{3}{7} \right)$ を計算しに行ってもいいです.

さいごに実際に二次体での素数の分解を具体例でみていきましょう.

例 $K= \mathbb{Q}(\sqrt{7})$ について:

$d=7 \equiv 3$ mod $4$ より命題 $1$ より完全分岐するのは $p=2, 7$ の２つのみ.

また完全分解するのは命題 $3$ より

$p$ が完全分解する $\Longleftrightarrow \left( \dfrac{p}{7} \right)=1 \Longleftrightarrow \left( \dfrac{p}{7} \right)(-1)^{\frac{p-1}{2} \frac{7-1}{2}}=1 \Longleftrightarrow \left( \dfrac{p}{7} \right)(-1)^{\frac{p-1}{2}}=1$