Dedekind整域の (0) でないイデアルは2元生成である

ここでは Dedekind 整域の $(0)$ でないイデアルは $2$ 元生成である ということを示したいと思います. この命題を示すために, 次の定理を用います.

定理 1.　Dedekind 整域の $(0)$ でない任意のイデアルは素イデアルの積として一意的に表される.

また次の補題も使うので示します.

補題 2.　 $\mathfrak{a}$ を Dedekind 整域 $A$ の $(0)$ でないイデアルとするとき, $A/\mathfrak{a}$ は単項イデアル環である.

証明.　(定理 1.) より $\mathfrak{a}=\mathfrak{p}_{1}^{n_1} \cdots \mathfrak{p}_{k}^{n_k} (i \not=j \Rightarrow \mathfrak{p}_{i} \not= \mathfrak{p}_{j})$ と素イデアル分解できる. このとき中国式剰余定理(以下CRT)より

$A/\mathfrak{a} \stackrel{\sim}{\longrightarrow} A/\mathfrak{p}_{1}^{n_1} \times \cdots \times A/\mathfrak{p}_{k}^{n_k}$

となる. ここで右辺の各 $A/\mathfrak{p}_{i}^{n_i}$ が単項イデアル環になることを示す. $n_i=1$ のときはこの剰余環は体になるので明らかなのでそうでないときを考える. まずイデアルの対応を考えるとこの剰余環のイデアルは $\mathfrak{p}_{i}^{l} (1 \leq l \leq n_i)$ の

射影

$\pi : A \to A/\mathfrak{p}_{i}^{n_i}$

による像である. さて $x \in \pi(\mathfrak{p}_{i}) \setminus \pi(\mathfrak{p}_{i}^{2})$ をとる. このとき $(x)= \pi(\mathfrak{p}_{i})$ となり, よって $(x^l)=\pi(\mathfrak{p}_{i}^{l})$ となり剰余環が単項イデアル環であることがわかる.　(終)

ではタイトルの主張を示していきたいと思います. とはいってもほとんど補題を使えばすぐ示せます.

命題 3.　Dedekind 整域 $A$ の $(0)$ でないイデアル $\mathfrak{a}$ は $2$ 元生成である.

証明　 $x \in \mathfrak{a} \setminus \{0\}$ をとる. このとき補題より $A/(x)$ は単項イデアル環であり, 特に $\mathfrak{a}/(x)$ は単項イデアルなので生成元 $\bar{y} \in A/(x)$ がとれる. すると $\mathfrak{a}=(x,y)$ がわかる. (終)