局所同相写像は連続かつ開 - ガランガラのブログ

ここでは, 局所同相写像は連続写像であり, かつ開写像であることを示します.

それぞれの定義は次の通りです.

定義 1. $X, Y$ を位相空間とする. 写像 $f : X \to Y$ について

$(1)$ $f$ が連続写像であるとは, 任意の $Y$ の開集合 $V$ の逆像 $f^{-1}(V)$ が $X$ の開集合となることをいう. また, $f$ が同相写像であるとは, $f$ が連続な全単射写像であり, 逆写像 $f^{-1}$ も連続写像となることをいう.

$(2)$ $f$ が開写像であるとは, 任意の $X$ の開集合 $U$ の像 $f(U)$ が $Y$ の開集合となることをいう.

$(3)$ $f$ が局所同相写像であるとは, 任意の $X$ の点 $x$ に対して, $x$ を含む開集合 $U$ が存在して, $f(U)$ が $Y$ の開集合でありかつ $f$ の $U$ への制限 $f |_{U} : U \to f(U)$ が同相写像となることをいう.

定義ができたので早速局所同相写像が連続写像であり, かつ開写像であることを示していきましょう.

命題 2. $f : X \to Y$ を局所同相写像とする. このとき, $f$ は連続写像であり, かつ開写像である.

証明　まず連続性を示す. 任意の $Y$ の開集合 $V$ をとる. このとき, $f^{-1}(V)$ が $X$ の開集合であることを示したい. $f$ は局所同相写像なので, 任意の元 $x \in f^{-1}(V)$ に対して, ある $X$ の開集合 $U_{x}$ が存在して, $f(U_{x})$ が $Y$ の開集合でありかつ $f$ の $U_{x}$ への制限 $f |_{U_{x}} : U_{x} \to f(U_{x})$ が同相写像となる. ここで

$f^{-1}(V) = \bigcup_{x \in f^{-1}(V)} (f^{-1}(V) \cap U_{x})$

であるから, 各 $x \in f^{-1}(V)$ が $X$ の開集合であることを示せばよい. $V \cap f(U_{x}) \subset f(U_{x})$ であり, $V, f(U_{x})$ はどちらも $Y$ の開集合であるので, $V \cap f(U_{x})$ は $Y$ の開集合であり, 部分空間 $f(U_{x})$ の開集合である. $f |_{U_{x}} : U_{x} \to f(U_{x})$ は同相写像で特に連続写像であるので

$f^{-1}(V) \cap U_{x} = (f |_{U_{x}})^{-1}(V \cap f(U_{x}))$

は部分空間 $U_{x}$ の開集合である. 相対位相の定義から, ある $X$ の開集合 $W_{x}$ が存在し, $(f^{-1}(V) \cap U_{x}) = W_{x} \cap U_{x}$ となる. $U_{x}, W_{x}$ はともに $X$ の開集合なので, $(f^{-1}(V) \cap U_{x}) = W_{x} \cap U_{x}$ は $X$ の開集合であることがわかるので, $f$ は連続写像である.

次に開写像であることを示す. 任意の $X$ の開集合 $U$ をとる. $f$ は局所同相写像なので, 任意の $U$ の元 $x$ に対し, $x$ を含む $X$ の開集合 $U_{x}$ が存在し, $f(U_{x})$ は $Y$ の開集合でありかつ $f$ の $U_{x}$ への制限 $f |_{U_{x}} : U_{x} \to f(U_{x})$ が同相写像となる. ここで

$f(U) = f(\bigcup_{x \in U} (U \cap U_{x})) = \bigcup_{x \in U} f(U \cap U_{x})$

であるから, 各 $f(U \cap U_{x})$ が $Y$ の開集合であることを示せばよい. $f(U \cap U_{x}) \subset f(U_{x})$ であり, $U \cap U_{x}$ は $U_{x}$ の開集合であるから各 $f(U \cap U_{x})$ は $f |_{U_{x}}$ が同相写像なので, 部分空間 $f(U_{x})$ の開集合である. 相対位相の定義から $Y$ の開集合 $Z_{x}$ が存在して $f(U \cap U_{x}) = f(U_{x}) \cap W_{x}$ となる. $f(U_{x}), W_{x}$ はともに $Y$ の開集合なので, $f(U \cap U_{x})$ は $Y$ の開集合である. よって $f$ は開写像である. (終)