ガランガラのブログ

数学や好きな音楽について書くことが多いです。

素数についての不等式

整数論演習

ここでは, なんか僕が初めて出会ったときに, 言われてみれば当たり前だけど面白いなあと感じた素数についての簡単な不等式を紹介します.

命題 1. $p_n$ を $n$ 番目の素数とするとき

$p_{n+1} \leq p_1 p_2 \cdots p_n+1$

証明 $p_1 p_2 \cdots p_n+1$ は $p_1, p_2, \cdots, p_n$ と互いに素である. よって $p_{n+1}$ 以上の素数の倍数であるので不等式が成立する.

何か間違いなどあれば教えてください.