自由加群の自由加群でない部分加群

ここでは自由加群の自由加群でない部分加群の例を簡単に挙げます.

ちなみに一般的に ${\rm PID}$ 上の自由加群の部分加群は自由加群である という事実があります. なので環としては ${\rm PID}$ でないものを用意して考えてみました.

命題 $A= \mathbb{Z} [ x ], M=A, N=(2, x)$ とすると, $N$ は $M$ の自由加群でない部分加群である.

証明 $N$ が自由加群であるとするとランクは $M$ のランク以下なので $0$ または $1$ となる. しかしながら $N \not= 0$ は明らかなのでランクは $0$ ではなく, また単項生成でないのでランクは $1$ でもない. よって $N$ は $M$ の自由加群でない部分加群である. (終)

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