ガランガラのブログ

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ベキ零でないベキ零元根基

環論 演習

ここでは「ベキ零でないベキ零元根基」の例を挙げたいと思います.

一般にネーター環のベキ零元根基はベキ零になるので、ネーター環でない環で考えないといけないということになります.

パッと思いついたネーター環でない環は A=K[x_i \mid i \in \mathbb{N}] とかですかね.  では紹介します.

命題  A=K [x_i \mid i \in \mathbb{N} ] , I=( x_{i}^i \mid i \in \mathbb{N}) としたとき A/Iはベキ零元根基がベキ零でない

証明 ベキ零元根基を N とおくと, x_i +I \in N である. このとき, 任意の自然数 n に対して 0 \not = x_{n+1}^n +I  \in N^n より N はベキ零でない (終)

 

何か間違いなどがあれば教えてください

 

[参考文献]

 

Atiyah‐MacDonald 可換代数入門

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