ガランガラのブログ

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B-Aが乗法的に閉じているときAは整閉

環論 演習

問題 環の拡大 A \subset B について, B-A が乗法的に閉じているとき A は整閉であることを示せ.

 

解答例  x \in B-A が A 上整とすると

x^n + a_{1}x^{n-1} + \cdots + a_{n-1}x + a_n=0

となる自然数 n と a_i \in A が存在する. このとき x のとり方から n \geq 2 であり, またそのような n で最小なものとしてとることにする.ここで

y = x^{n-1} + a_{1}x^{n-2} +  \cdots + a_{n-1}

とおくと, n の最小性から y \in B-A である. すると

xy = -a_n \in A

となり B-A が乗法的に閉じているという仮定に矛盾するので x \in A となる. (終)

 

何か間違いなどがあれば教えてください.

 

[参考文献]

 

Atiyah‐MacDonald 可換代数入門

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