すべての既約元が素元になるがUFDでない例

ここでは「すべての既約元が素元になるがUFDでない例」を紹介したいと思います.

代数学の教科書ではよく次の命題が載っています.

命題 1. 可換環 $A$ が $\textrm{UFD}$ ならば, $A$ のすべての既約元は素元になる.

今回はこの命題の逆の反例を考えるということです.

実は次のようなものを考えるといいそうです.

定理 1. $F$ を体として

$A := F [ x ; \mathbb{Q}_{0}^{+} ] := \{ \sum_{r \in \mathbb{Q}_{0}^{+}} a_{r}x^{r} \mid a_{r} \in F, 有限個の r を除いて a_r=0 \}$

を考えるとこれはすべての既約元が素元になるが $\textrm{UFD}$ でない.

証明まず普通の一変数多項式環のときのように $A$ の元に対して次数を定義する. $0 \not= f(x) \in A$ に対して

$S(f) := \{ r \mid a_r \not=0 \}$

とおく. これは有限集合なので

$\textrm{deg}f(x) := \textrm{max}S(f)$

と定める.

補題 1. 任意の正の有理数 $r$ に対して,

$\phi_{r} : A \to A,\ f(x) \mapsto f(x^r)$

は $F$ 代数の同型であり, $\textrm{deg} \phi_{r}(f(x)) = r \textrm{deg} f(x)$ .

補題 1. の証明 $\phi_{1/r}$ が逆写像である. 次数についても明らか. (終)

さて, $F [x] = F [ x ; \mathbb{N}_{0} ]$ とみれるので $F [x] \subset A$ である. 特に部分環になる.

ただちに次がわかる.

補題 2. $f(x) \in F [x]$ が $A$ において既約なら $F [x]$ においても既約である.

補題 2. の証明対偶を考えれば明らか. (終)

補題 3. $f(x) \in A$ は次数が正とする. このときもし $f(x)$ が既約元なら素元である.

補題 3. の証明 $f(x)$ が $a(x)b(x)$ を割り切るとする. このときある $g(x) \in A$ が存在して $f(x)g(x) = a(x)b(x)$ となる. さてここで $n \in \mathbb{N}$ を

$\forall r \in S(f) \cup S(g) \cup S(a) \cup S(b),\ nr \in \mathbb{Z}$

となるものとしてとる. (それぞれ有限集合なのでとれる)

このとき $\phi_{n}$ によって $f(x), g(x), a(x), b(x)$ は $F [ x ]$ の元になり

$\phi_{n}(f(x)) \phi_{n}(g(x)) = \phi_{n}(a(x)) \phi_{n}(b(x))$

となる.

$f(x)$ はもともと既約元であり $\phi_{n}$ は同型なので $\phi_{n}(f(x))$ も $A$ の既約元になり, 補題 $2$ より $F [ x ]$ においても既約元となる.

$F [ x ]$ は $\textrm{UFD}$ なので $\phi_{n}(f(x))$ は素元になり, これは $\phi_{n}(a(x))$ または $\phi_{n}(b(x))$ を割り切るので

$\phi_{n}(a(x)) = c(x) \phi_{n}(f(x)) \ \exists c(x) \in F [ x ]$

としていい. これに $\phi_{1/n}$ を施すと

$a(x) = \phi_{1/n}(c(x)) f(x)$

となり $f(x)$ が素元とわかる. (終)

補題 4. $a \in F^{\times},\ r \in \mathbb{Q}^{+}$ とする. このとき $ax^r$ の因子は $bx^s\ (b \in F^{\times},\ s \in \mathbb{Q}_{0}^{+},\ s \leq r)$ に限る.

補題 4. の証明 $f(x) \in A$ を因子とする. このときある $g(x) \in A$ が存在して $ax^r = f(x) g(x)$ . さて先ほどと同様に $n \in \mathbb{N}$ をうまくとって $\phi_{n}(ax^r),\ \phi_{n}(f(x)), \phi_{n}(g(x)) \in F [ x ]$ とできる. すると

$ax^{rn} = \phi_{n}(f(x)) \phi_{n}(g(x))$

となる. $F [x ]$ が $\textrm{UFD}$ で $x$ は既約なので, ある $b \in F^{\times}$ と非負整数 $t \leq rn$ が存在して $\phi_{n}(f(x)) = bx^t$ となる. すると

$f(x) = bx^{t/n}$

で $t/n \leq r$ なので $f(x)$ は所望の形である. (終)

補題 5. $A$ は $\textrm{UFD}$ でない. 特に $x \in A$ は二つ以上の既約元の積として表せない.

補題 5. の証明補題 $4$ より $x$ の因子は $ax^r,\ a \in F^{\times},\ 0 \leq r \leq 1$ の形である. しかしそのような形のものは既約元でない. なぜなら $r=0$ なら単元になり, もし $r$ > $0$ なら $ax^r = (ax^{r/2}) x^{r/2}$ となりどちらも単元でない. (終)