ガランガラのブログ

数学や好きな音楽について書くことが多いです。

ブール環の素イデアルについて

環論 演習

ブール環の本当に簡単な性質をまとめます.

まずは定義を述べましょう.

 

定義 1. 環 A はすべての x \in A に対して x^2=x をみたすとき ブール環 という.

 

命題 2. ブール環 A について次が成立する.

  1.  すべての x \in A に対して, 2x=0
  2. すべての素イデアル \mathfrak{p} は極大イデアルであり, A/\mathfrak{p} \cong \mathbb{F}_2
  3. {\rm Spec}(A) はハウスドルフ空間である.

証明 

1 について： 2x=(x+1)^2-x^2-1=(x+1)-x-1=0 よりOK.

2 について： x \in A/\mathfrak{p} を任意にとる. このとき x は T(T-1) \in (A/\mathfrak{p})[ T ] という係数が整域の元である多項式の根になるので x=0, 1 である. よって A/\mathfrak{p} \cong \mathbb{F}_2 である. 

3 について： \mathfrak{p}, \mathfrak{q} \in {\rm Spec}(A) の相異なる元とする. (すなわち相異なる素イデアル) このとき, 2 よりこれらに包含関係はない. よって 

\exists x \in \mathfrak{p} \setminus \mathfrak{q}, \exists y \in \mathfrak{q} \setminus \mathfrak{p}

すると, 1-x \not \in \mathfrak{p}, 1-y \not \in \mathfrak{q} であり, \mathfrak{q} \in D(x(1-y)), \mathfrak{p} \in D(y(1-x)) になる. ただしここで f \in A に対し. D(f) は a を含まない A の素イデアル全体の集合であり, {\rm Spec}(A) の開集合である. くわえて

D(x(1-y)) \cap D(y(1-x)) = \emptyset

であるのでこれで \mathfrak{p}, \mathfrak{q} が分離される. (終)

 

 

何か間違いなどあれば教えてください.

 

[参考文献]

 

Atiyah‐MacDonald 可換代数入門

Atiyah‐MacDonald 可換代数入門

Amazon