虚二次体Q(√-p)の類数から - ガランガラのブログ

ここでは $p$ を $4$ で割って $3$ 余る $5$ 以上の素数としたとき $\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$ の類数などがどうなるか, またそこから何がわかるのかをまとめます.

まずはそのために補題を示します.

補題 1. $p \geq 5$ を素数で, $p \equiv 3\ \textrm{mod}\ 4$ とし, $h$ を $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$ の類数, $\chi$ を $\textrm{mod}\ p$ の二次指標とする. すなわちルジャンドル記号である. このとき次が成立する.

$(1)$ $\displaystyle hp = -2 \sum_{a=1}^{(p-1)/2} \chi(a)a + p \sum_{a=1}^{(p-1)/2} \chi(a)$ .

$(2)$ $\displaystyle hp = -4 \sum_{a=1}^{(p-1)/2} \chi(2a)a + p \sum_{a=1}^{(p-1)/2} \chi(2a)$ .

$(3)$ $\displaystyle h = \dfrac{1}{2- \chi(2)} \sum_{a=1}^{(p-1)/2} \chi(a)$ .

証明まず虚二次体の類数公式から

$\displaystyle h = -\dfrac{1}{p} \sum_{a=1}^{p-1} \chi(a)a$

が今回の状況で成り立つ. よって

$\displaystyle hp = -\sum_{a=1}^{p-1} \chi(a)a$

である.

$(1)$ について：

$\displaystyle hp = -\sum_{a=1}^{p-1} \chi(a)a = - \Big\{ \sum_{a=1}^{(p-1)/2} \chi(a)a + \sum_{a=1}^{(p-1)/2} \chi(p-a)(p-a) \Big\}$

ここで $p \equiv 3\ \textrm{mod}\ 4$ なので $\chi(p-a)=-\chi(a)$ である. よって

$\displaystyle hp = - \Big\{ \sum_{a=1}^{(p-1)/2} \chi(a)a + \sum_{a=1}^{(p-1)/2} -\chi(a)(p-a) \Big\} = -2 \sum_{a=1}^{(p-1)/2} \chi(a)a + p \sum_{a=1}^{(p-1)/2} \chi(a)$ .

$(2)$ について：

$\displaystyle hp = -\sum_{a=1}^{p-1} \chi(a)a = - \Big\{ \sum_{a=1}^{(p-1)/2} \chi(2a)(2a) + \sum_{a=1}^{(p-1)/2} \chi(p-2a)(p-2a) \Big\} \\ = \displaystyle -4 \sum_{a=1}^{(p-1)/2} \chi(2a)a + p \sum_{a=1}^{(p-1)/2} \chi(2a).$