ガランガラのブログ

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虚二次体 Q(√-p) の類数について その②

整数論

以前 p \equiv 3\ \textrm{mod}\ 4,\ p \geq 5 のときに \mathbb{Q}(\sqrt{-p}) の類数が奇数になることを示しました. 

mathgara.hatenablog.com

 

今回は p \equiv 1\  \textrm{mod}\ 4,\ p \geq 5 の場合を考えます.

方法は似たようなものです.

命題 1.  p \equiv 1\ \textrm{mod}\ 4,\ p \geq 5 を素数とする. このとき \mathbb(\sqrt{-p}) の類数 h は偶数である.

証明 虚二次体の類数公式から \chi : (\mathbb{Z}/{4p \mathbb{Z}})^{\times} \to \{ \pm 1 \} を二次の指標とすると

\displaystyle h = -\dfrac{1}{4p} \sum_{a=1}^{4p-1} \chi(a)a \\

\displaystyle \ \ = -\dfrac{1}{4p} \sum_{a=1}^{p-1} \left\{ \chi(a)a + \chi(p+a)(p+a) + \chi(-(p+a))(4p-(p+a)) + \chi(-p)(4p-a) \right\}.

p \equiv 1\ \textrm{mod}\ 4 なので \chi(-1)=1 であるから

\displaystyle \ \ = -\dfrac{1}{4p} \sum_{a=1}^{p-1} \left( 4p \chi(a) + 4p \chi(p+a) \right)

\displaystyle \ \ = -\sum_{a=1}^{p-1} \left( \chi(a) + \chi(p+a) \right) = -\sum_{a=1}^{2p} \chi(a).

ただし \chi(p)=\chi(2p)=0 に注意.

さて最後の和は 2p 以下の 2, p と互いに素な自然数のときのみ非零であり, そのような自然数は \phi(2p)=p-1 個ある. ( \phi は \textrm{Euler} 関数)

m := \# \{ a \mid 1 \leq a \leq 2p,\ \chi(a)=1 \}

とおくと

h = -( m - (p-1-m) ) = p-2m-1 \in 2 \mathbb{Z}.

よって命題の仮定を満たすとき類数は偶数となる. (終)

系 2. 上記の命題の設定の下で, \mathbb{Q}(\sqrt{-p}) の整数環は \textrm{PID} でない.

証明 類数が偶数より h \not =1 からわかる. (終)

 

今回はこれで終わります.

 

何か間違いなどがあれば教えてください.

 

[参考文献]

 

Introduction to Cyclotomic Fields (Graduate Texts in Mathematics Book 83) (English Edition)

Introduction to Cyclotomic Fields (Graduate Texts in Mathematics Book 83) (English Edition)

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