ガランガラのブログ

数学や好きな音楽について書くことが多いです。

積公式

整数論

今回は p 進数の積公式についてまとめたいと思います.

 

命題 1. 任意の有理数 a \not=0 に対して,

\displaystyle \prod_{p} \vert a \vert_p = 1

が成り立つ. ただし, p はすべての素数と \infty をわたるとする.

 

証明    a の素因数分解

\displaystyle a= \pm \prod_{p \not= \infty} p^{n_p}

を考え, また a の符号は \dfrac{a}{\vert a \vert_{\infty}} であることから

\displaystyle a=\dfrac{a}{\vert a \vert_{\infty}} \prod_{p \not= \infty} \dfrac{1}{\vert a \vert_{p}}

なので主張が成り立つ. (終)

 

すこし例を見てみましょう.

 

例

\displaystyle \prod_{p} \vert 7 \vert_{p}=\vert 7 \vert_{\infty} \cdot \vert 7 \vert_{7} \cdot \prod_{p \not= 7, \infty} \vert 7 \vert_{p} =7 \cdot \dfrac{1}{7} \cdot \prod_{p \not=7, \infty} 1=1

 

何か間違いなどあれば教えてください.

 

[参考文献]

 

代数的整数論

代数的整数論

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