エルミート行列の固有値について

ここではエルミート行列の固有値についてまとめてみたいと思います.

命題 1. $\langle \ , \ \rangle$ を $\mathbb{C}^n$ の標準エルミート内積とし, $A$ を $n$ 次エルミート行列, すなわち共役転置 $A^{*}$ に対し, $A=A^{*}$ とする. このとき次が成立する.

$(1)\ A$ の固有値はすべて実数である.

以下, $\lambda_1 \leq \lambda_2 \leq \cdots \leq \lambda_n$ を $A$ の固有値とする.

$(2)$ 各固有値 $\lambda_k$ について

$\displaystyle \lambda_k=\underset{\underset{{\rm dim}(V)=k}{V \subset \mathbb{C}^n}}{\rm min} \underset{\underset{\vert \boldsymbol{x} \vert=1}{ \boldsymbol{x} \in V}}{\rm max} \langle A \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x} \rangle \ (k=1, \ldots, n)$

証明

$(1)$ について：

$\lambda$ を $A$ の固有値とし, それに対応する固有ベクトルを $\boldsymbol{x} (\not = \boldsymbol{0})$ とすると,

$\lambda \vert \boldsymbol{x} \vert = \langle \lambda \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x} \rangle = \langle A \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x} \rangle = \langle \boldsymbol{x}, A^{*} \boldsymbol{x} \rangle = \langle \boldsymbol{x}, A \boldsymbol{x} \rangle = \langle \boldsymbol{x}, \lambda \boldsymbol{x} \rangle = \bar{\lambda} \vert \boldsymbol{x} \vert$

$\vert \boldsymbol{x} \vert \not= 0$ より $\lambda = \bar{\lambda}$ より $\lambda \in \mathbb{R}$ である.

$(2)$ について：

$U = [ \boldsymbol{u}_1\ \cdots\ \boldsymbol{u}_n]$ を $U^{-1}AU={\rm diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$ となるユニタリ行列とする. (これは $A$ がエルミート行列だからとれる)

このとき, $U_k$ で $\boldsymbol{u}_1, \cdots, \boldsymbol{u}_k$ で張られる $\mathbb{C}^n$ の部分空間とすると, ${\rm dim}(U_k)=k$ であり, $\boldsymbol{x} \in U_k, \vert \boldsymbol{x} \vert =1$ に対して

$\displaystyle \boldsymbol{x}= \sum_{i=1}^{k}a_i \boldsymbol{u}_i,\ \sum_{i=1}^{k} \vert a_i \vert^2 = \vert \boldsymbol{x} \vert^2 =1$

となる. すると

$\displaystyle \langle A \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x} \rangle =\left \langle \sum_{i=1}^{k}a_i A \boldsymbol{u}_i, \sum_{i=1}^{k}a_i \boldsymbol{u}_i \right \rangle = \sum_{i=1}^{k} \vert a_i \vert^2 \lambda_i \leq \sum_{i=1}^{k} \vert a_i \vert^2 \lambda_k = \lambda_k$

である. よって $\displaystyle \lambda_k \geq \underset{\underset{{\rm dim}(V)=k}{V \subset \mathbb{C}^n}}{\rm min} \underset{\underset{\vert \boldsymbol{x} \vert=1}{ \boldsymbol{x} \in V}}{\rm max} \langle A \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x} \rangle$ がわかる.

逆向きの不等号を示す. そのためには,

$(\ast)$ 任意の $k$ 次元部分空間 $V$ に対して, ある $\boldsymbol{x} \in V$ が存在して, $\vert \boldsymbol{x} \vert =1$ かつ $\langle A \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x} \rangle \geq \lambda_k$

を示せばいい.

さて, $W_k:= \langle \boldsymbol{u}_k, \ldots, \boldsymbol{u}_n \rangle$ とすると ${\rm dim}(W_k)=n-k+1$ で,

${\rm dim}(V \cap W_k) = {\rm dim}(V) + {\rm dim}(W_k) - {\rm dim}(V \cap W_k) \geq k+(n-k+1)-n=1$

よって $\boldsymbol{x} \in V \cap W_k$ で $\vert x \vert =1$ となるものをとると, $\displaystyle \boldsymbol{x}=b_k \boldsymbol{u}_k + \cdots + b_n \boldsymbol{u}_n, \sum_{i=k}^{n} \vert b_i \vert^2 =1$ で

$\displaystyle \langle A \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x} \rangle = \sum_{i=k}^{n} \vert b_i \vert^2 \lambda_i \geq \sum_{i=k}^{n} \vert b_i \vert^2 \lambda_k = \lambda_k$