初学者向け群論解説その９～『well-defined』について～

ここでは, 数学においてしばしば気にする機会が多い " $\textrm{well-defined}$ " という考え方についてまとめたいと思います. 僕も初めて学んだ時は腑に落ちるまで時間がかかったのですが, ここではなるべく具体例なども挙げながらまとめていきたいと思います.

さっそく次の定義を見てください.

定義 1. $a$ を実数とする. $x \in \mathbb{R}$ なら, $x$ を有理数列 $\{ x_n \}$ の極限として $x=\lim_{n \to \infty} x_n$ と表し, $a^x=\lim_{n \to \infty} a^{x_n}$ と定義する.

さて. 上の定義について " $\textrm{well-defined}$ " という考え方のもとで気にしないといけないことが2つあります.

$1$ つ目は『そもそも $\lim_{n \to \infty} a^{x_n}$ は存在するのか？収束するのか？』ということです. まあ, 言われてみればそりゃそうって感じだと思います. 極限で定義するときにそもそも収束しなかったら意味ないですもんね. いわばこれは定義がうまくいくための最低条件です.

では $2$ つ目は何か思いつきますか？ここが少しなじむのに時間がかかるかもしれないなあというところです. 何かというと『 $a^x$ の定義が $x$ に収束する有理数列 $\{ x_n \}$ の取り方に依らないか？』ということです. 何を言っているかというと, 例えば $2^{\sqrt{2}}$ について, $\sqrt{2}$ に収束する有理数列として

$x_1=1, x_2=1.4, x_3=1.41, \cdots$ という $\{ x_n \}$

$y_1=1.4, y_2=1.414, y_3=1.41421, \cdots$ という $\{ y_n \}$

の $2$ 種類をとったときに,

$2^{x_1}=2^1, 2^{x_2}=2^{1.4}, 2^{x_3}=2^{1.41}, \cdots$

と

$2^{y_1}=2^{1.4}, 2^{y_2}=2^{1.414}, 2^{y_3}=2^{1.41421}, \cdots$

の極限が等しくないといけないという考え方です. (ほんとうは任意の $\sqrt{2}$ に収束する有理数列 $\{ x_n \}$ について $\lim_{n \to \infty} 2^{x_n}$ が等しくなることをいわないといけません)

$a^x$ を定義するからには, この定義が $a$ と $x$ にのみ依存していないといけないのです.

上記の $2$ つの気になる点に関する証明は解析学の話になるのでここでは割愛します.

まとめると

定義で使われる操作が実際にうまくいくのか？
定義が元の対象から複数定まる対象を経由して定義されている場合, 結果がその経由の仕方に依らないか？

こういう何かを定義するときの考え方が " $\textrm{well-defined}$ " です.

もう少し例を見ましょう.

この際僕は $\textrm{well-defined}$ でないものの例を見ると納得しやすかったのでそれを紹介します.

みなさんは分数の足し算ができますか？こういう定義にしてもいいのではないでしょうか？

ていぎ 2. 有理数 $a/b, c/d$ について

$\dfrac{a}{b} +' \dfrac{c}{d} := \dfrac{a+c}{b+d}$

と定義する.

まあ分数の足し算をしらない小学生とかだとやってしまいそうな計算ですよね. もし小学生がこういう間違った計算をしていたら, ちゃんと数学的に「それ $\textrm{well-defined}$ じゃないよ」って注意してあげましょう. (もちろん冗談ですよ)

何がまずいのでしょうか. 先ほどの $2$ つのポイントに沿って考えてみましょう.

・操作がいつでもうまくいくか？ $\rightarrow$ Ｎｏ！

たとえば

$\dfrac{2}{3} +' \dfrac{5}{-3} := \dfrac{2+5}{3+(-3)}$

となり分母が $0$ になってうまくいかないということが起こります.

・結果が経由の仕方に依らないか？ $\rightarrow$ Ｎｏ！

ちょっとわかりにくいかもしれませんが, 分数には約分という操作があって, 同じ分数でもいろいろな表し方ができますよね. たとえば

$\dfrac{3}{11}=\dfrac{6}{22}=\dfrac{9}{33}=\cdots$

みたいな. 表し方が違うからといって, それによって結果が変わったら嫌ですよね. ですが今回の定義だと

$\dfrac{3}{11} +' \dfrac{2}{7}=\dfrac{3+2}{11+7}=\dfrac{5}{18}$

$\dfrac{6}{22} +' \dfrac{6}{21}=\dfrac{6+6}{22+21}=\dfrac{12}{43}$

となっておかしなことが起こってしまいます.

以上より今回のものは $\textrm{well-defined}$ でないということになります.

ほかにも三角比の定義など, $\textrm{well-defined}$ かどうか実は気にしないといけない定義がありますし, 自分で何か定義した時には, 必要に応じて $\textrm{well-defined}$ かどうか確かめないといけません. 僕的には

いつ $\textrm{well-defined}$ かどうか確かめないといけないかの判断ができる
実際に確かめられる

の $2$ つがクリアできればいいのかなと思います. ただもし今腑に落ちなくてもあまり気にしなくていいと思います. 勉強をすすめていくと嫌でも教科書などで $\textrm{well-defined}$ かどうか確かめないといけない場面がでてくるのでその都度その都度徐々に慣れていけばいいと思います.

今回はこれで終わります.

何か間違いなどあれば教えてください.

[参考文献]